人教考向05函数的单调性及最值（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）.docx

考向05 函数的单调性与最值
1. （2022年浙江卷第7题）已知，则（ ）
A. 25 B. 5 C. D.
【答案】C
【解析】因为，，即，所以．
故选：C.
2. （2022年 新高考1卷第7题）设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
3. （2022年北京卷第14题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．
【答案】 ①. 0（答案不唯一） ②. 1
【解析】若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，
当时，单调递减，，
当时，
∴或，解得，
综上可得；故答案为：0（答案不唯一），1
（1）函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。
（2）函数f（x）在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。
（3）函数的单调定义中的x1、x2有三个特征：①任意性②有大小③属于同一个单调区间。
（4）求函数的单调区间必须先求定义域。
（5）求函数的最值的常用方法，①数形结合法②配方法③单调性法。
1．函数单调性的两个等价结论
设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则
(1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增．
(2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减．
2．函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
【易错点1】求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，忽略定义域研究函数的单调性是常见的错误．
【易错点2】有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．
1．下列函数中，定义域是且为增函数的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】四个函数的图象如下
显然B成立．
【名师点睛】本题考查函数的定义域以及单调性的判定，涉及指数、对数、幂函数的性质，属于基础题．根据题意，依次分析选项中函数的定义域以及单调性，即可得答案．
2．函数的单调递减区间是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设t＝x2﹣2x﹣3，则函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
因为函数在定义域上为减函数，
所以由复合函数的单调性性质可知，此函数的单调递减区间是（1，+∞）．
故选D．
【名师点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．复合函数的单调性，一要先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”．解答本题时，利用复合函数的单调性确定函数f（x）的单调递减区间．
3．已知函数，，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数，，，
根据指数函数和对数函数的单调性可得：
，，，
因为函数在上单调递减，且，
所以，即.
故选：B
【点睛】
对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
4．已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在同一坐标系内画出的图象，由图象可知，
在上，恒成立，即，
当且仅当或时等号成立，，
设，则等价于，
即，
，
再设，原不等式可化为，
即
，
而，，
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题考查恒成立问题，考查三角函数的图象和性质，解决本题的关键点是设，则原不等式等价于，再设，并参变分离求出最值解出实数的取值范围，考