人教考向17 平面向量的概念及线性运算（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）.docx

考向17 平面向量的概念及线性运算
1．（2022新高考1卷第3题）在中，点在边上，．记，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，又因为，所以，即．故选B．
2．（2018•新课标Ⅰ，理6文第7题）在中，为边上的中线，为的中点，则　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，为边上的中线，为的中点，∴
，故选．
3．（2020江苏第13题）在中，，，，在边上，延长到，使得，若（为常数），则的长度是 ．
【答案】
【解析】由向量系数为常数，结合等和线性质可知，
故，，故，故．
在中，；在中，由正弦定理得，
即．
1.平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．　
2.向量线性运算的解题策略
(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．　
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
3.共线向量定理的应用
（1）证明向量共线∶对于向量a，b，若存在实数λ，使a=λb（b≠0），则a与b共线
（2）证明三点共线若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线
（3）求参数的值∶利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值
1．三点共线的等价转化:A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y.(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)
2．向量的中线公式:若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝(＋)．
1．若两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量相等；但两个相等向量不一定有相同的起点和终点．
2．零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．
3．注意区分向量共线与向量所在的直线平行之间的关系．
1．如图，平行四边形ABCD的对角线交于M，若＝a，＝b，用a，b表示为(　　)
A.a＋b　　　 B．a－b C．－a－b D．－a＋b
【答案】D
【解析】＝＝(－)＝(b－a)＝－a＋b.
2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
【答案】C
【解析】因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件．
3.如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则＝(　　)
A.－ B．2－2 C.－ D．2－2
【答案】D
【解析】连接CD，因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以CD∥AB，且AB＝2CD.所以＝2＝2(－)＝2－2，故选D.
4．如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F满足＝2，那么＝(　　)
A.－ B．＋ C.－ D．＋
【答案】C
【解析】因为E为DC的中点，所以＝.因为＝2，所以＝.所以＝＋＝＋＝＋＝－，故选C.
5.在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A. B． C．－ D．－
【答案】A
【解析】由题意，知＝＝(＋)＝＋×＝＋(－)＝－＋，所以λ＝－，μ＝，则λ＋μ＝，故选A.
6．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)
A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上
【答案】B
【解析】由＝λ＋得－＝λ，＝λ.则，为共线向量，又，有一个公共点P，所以C，P，A三点共线，即点P在直线AC上．
7．(多选)如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式正确的是(　　)
A.＝ B．＝ C．BP＝－ D．＝
【答案】ABC
【解析】由数乘向量的定义可以得到A，B，C都是正确的，只有D错误．