人教考向28利用空间向量求空间角（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）.docx

考向28 利用空间向量求空间角
1.（2022年甲卷理科第18题）在四棱锥中，底面，，，，．
（1）证明：；
（2）求与平面的所成的角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）∵底面，∴，
取中点，连接，可知，
∵，∴，∴四边形为平行四边形，∴，
∵，∴为直角三角形，为斜边，∴，
∵，∴平面，∴.
（2）由（1）知，，，两两垂直，，
建立空间直角坐标系如图所示，则
，，，，
∴，，，
设平面的法向量为，则
，即，
不妨设，则，
设与平面的所成角为，则
，
∴与平面的所成的角的正弦值为.
2.（2022年乙卷理科第18题）如图，四面体中 为中点.
证明：平面平面；
设点在上，当的面积最小时，求 与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）
.
.
,
.
平面平面.
(2)在中，.
在中，,, .
.
、、两两互相垂直.
由点在上且 ，
由于
当的面积最小时
在中，
如图，以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系.
、、、、
、、
=
设平面的法向量为 .
可得 设
设与所成的角为，与平面所成角的为
所以与平面所成角的正弦值为.
3.（2022年新高考1卷）19．（12分）
如图，直三棱柱的体积为，的面积为．
求到平面的距离；
设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设到平面的距离为，，
，所以，所以，所以到平面的距离为．
(2)取的中点，连接，因为，所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面,，则，所以，
因为直三棱柱，所以，
因为，所以平面，所以，
由，所以，
以为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，，
平面BDC的法向量设为，平面BDA的法向量设为，
，，
，所以，所以，
设，则，所以，所以，
设二面角 的平面角为，则，
所以二面角的正弦值为．
4.（2022年新高考2卷）如图，是三棱锥的高，，，是的中点，
（1）求证：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）法一：连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，所以，，
所以，又，，所以，所以，
作中点，连接、，则有，又，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又、分别为、的中点，所以，在中，
又因为平面，平面，所以平面，
又、平面，，所以平面平面，
又平面，所以平面；
法二：（1）连接、,
因为是三棱锥的高，所以平面，所以,，
所以,又,,所以,
所以,又,在中，为中点，
延长,交于，连接,
所以在中，、分别为、的中点，所以,
因为平面,平面,所以平面；
（2）法一：过点作，以为轴，为轴，为轴． 建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，，由（1），
又，所以，，所以，，
，，设，则，
平面的法向量设为，直线的方向向量可设为，
直线平面，直线的方向向量为
，所以，
所以，设，则，
所以；
平面的法向量设为，，
，所以，所以，设，则，
所以；
所以
二面角的平面角为，则，
所以二面角的正弦值为
法二：（2）过点作,以为轴，为轴，为轴
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为,,由（1）,
又，所以,,所以,,
,,设，则，
平面的法向量设为，，
，所以，所以，设，则，
所以；
平面的法向量设为，，
,所以，所以，设，则，
所以；
所以
二面角的平面角为，则，
所以二面角的正弦值为。
1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：
（1）选好基底或建立空间直角坐标系；
（2）求出两直线的方向向量v1，v2；
(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解.
2.利用向量法求线面角的方法：
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.
3.利用空间向量计算二面角大小的常用方法：
(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.
(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂