人教第04讲 圆锥曲线综合（练）（解析版）.docx

第04讲 圆锥曲线综合（练）
一、解答题
1．已知椭圆为左､右焦点，直线过交椭圆于两点.
(1)若直线垂直于轴，求；
(2)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在,直线的方程为或
【分析】（1）根据题意可求得焦点坐标，进而求得直线的方程，联立直线和椭圆的方程即可得到两点的纵坐标，即可得.
（2）当直线的斜率为0时，不能构成三角形，不满足题意舍去；当直线的斜率不为0时，可设直线，通过联立直线和椭圆方程得到两点纵坐标的关系，再写出直线的方程，以及直线的方程，求出两直线分别与轴交点的纵坐标，然后用来表示和，再根据即可求得的值，进而得到直线的方程.
【详解】（1）根据题意得，，
当轴时，将代入，解得，
当在轴上方时，则，
当在轴下方时，，
所以.
（2）设，
当直线的斜率为0时，直线与轴重合，此时都在轴上，不能构成三角形，不满足题意，舍去；
当直线的斜率不为0时，可设直线，
则，，
联立，得，
则.
所以直线的方程：，令，解得纵坐标；
所以直线的方程：，令，解得的纵坐标.
若，即，
，
，
代入根与系数的关系，
得，解得.
所以存在直线，使得，直线的方程为或.
2．设椭圆的左顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，.
(1)求椭圆的方程；
(2)设P，Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP，AQ的斜率之积为.证明直线PQ恒过定点，并求出该点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
【分析】（1）由题意可得，，再结合，可求出，从而可求得椭圆的方程，
（2） 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程中消去，利用根与系数的关系，再结合化简可得，从而可得或进而可求出定点，当直线的斜率不存在时，若直线过定点，求出两点坐标，求解即可，
【详解】（1）由于，①
又，②
由①②解得，
椭圆的方程为.
（2）在（1）的条件下，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，消去得：，
设，则，.
又，由题知，
则，且，
则.
，
则，
或
当时，直线的方程为，
此时直线过定点，显然不适合题意，
当时，直线的方程为.
此时直线过定点.
当直线的斜率不存在时，若直线过定点，
点的坐标分别为.
满足.
综上，直线过定点.
3．已知椭圆的长轴长为，，为的左、右焦点，点在上运动，且的最小值为.连接，并延长分别交椭圆于，两点.
(1)求的方程；
(2)证明：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知可得，根据焦点三角形各边长，结合余弦定理可得，即可得椭圆方程；
（2）设出直线与，分别与椭圆联立可得点与点的坐标，代入面积即可得证.
【详解】（1）由题意得，
设，的长分别为，，
则，当且仅当时取等号，
从而，得，，
则椭圆的标准方程为；
（2）由（1）得，，
设，，
设直线的方程为，直线的方程为，
由，得，
则，
，
同理可得，
所以.
所以为定值.
4．设抛物线的焦点为F，准线为l，，以M为圆心的圆M与l相切于点Q，Q的纵坐标为，是圆M与x轴的不同于F的一个交点．
(1)求抛物线C与圆M的方程；
(2)过F且斜率为的直线n与C交于A，B两点，求△ABQ的面积．
【答案】(1)抛物线，圆
(2)
【分析】（1）分别求点的坐标，再利用圆心在线段的垂直平分线上，求得值，即可求得抛物线和圆的方程；
（2）直线与抛物线方程联立，求得点的坐标，求得，以及点到直线的距离，再求三角形的面积.
【详解】（1）由抛物线的定义知，圆M经过焦点，
，点M的纵坐标为，又，则，得，
则，．
由题意，M是线段EF的垂直平分线上的点，所以，解得p＝2，
故抛物线，圆．
（2）由题意知直线n的方程为，
由，解得或
设，，则．
点到直线的距离，
所以△ABQ的面积．
5．已知椭圆和双曲线．、分别为和的离心率．
(1)若，求的渐近线方程；
(2)若，过椭圆的左焦点作斜率为的直线与交于不同两点、，过原点作的垂线，垂足为.若点恰好是与的中点，求线段的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得出关于实数的等式，求出的值，即可得出双曲线的渐近线方程；
（2）分析可知，设点，根据可求出点的坐标，进而可得出直线的方程，将该直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，进而可求得.
【详解】（1）解：由已知可得，因为，解得，
因此，双曲线的渐近线方程为.
（2）解：当时，椭圆的方程为，其左焦点为，