2024年高考数学一轮复习（人教版） 第1章　§1.2　常用逻辑用语.docx

§1.2　常用逻辑用语
考试要求　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．
知识梳理
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p
2．全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中任意一个x，p(x)成立
存在M中的元素x，p(x)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，p(x)
否定
∃x∈M，綈p(x)
∀x∈M，綈p(x)
常用结论
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分条件，则A⊆B；
(2)若p是q的充分不必要条件，则AB；
(3)若p是q的必要不充分条件，则BA；
(4)若p是q的充要条件，则A＝B.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定的真假性相反．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(　√　)
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(　√　)
(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　√　)
(4)命题“∃x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题．(　×　)
教材改编题
1．命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是(　　)
A．∃x∈R，ex－1≥x B．∀x∈R，ex－1≤x
C．∃x∈R，ex－1<x D．∀x∈R，ex－1<x
答案　C
解析　由题意得命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是“∃x∈R，ex－1<x”．
2．(多选)下列命题中为真命题的是(　　)
A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈R，－1≤sin x≤1
C．∃x∈R，2x<0 D．∃x∈R，tan x＝2
答案　BD
解析　当x＝0时，x2＝0，所以A选项错误；
当x∈R时，－1≤sin x≤1，所以B选项正确；
因为2x>0，所以C选项错误；
因为函数y＝tan x∈R，所以D选项正确．
3．若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．
答案　(3，＋∞)
解析　因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，
所以(m，＋∞)是(3，＋∞)的真子集，
由图可知m>3.
题型一　充分、必要条件的判定
例1　(1)(2023·淮北模拟) “a>b>0”是“>1”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由a>b>0，得>1，反之不成立，
如a＝－2，b＝－1，满足>1，但是不满足a>b>0，
故“a>b>0”是“>1”的充分不必要条件．
(2)(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案　B
解析　当a1<0，q>1时，an＝a1qn－1<0，此时数列{Sn}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{Sn}单调递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则qn<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．
思维升华　充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
跟踪训练1　(1)(2022·长春模拟) “a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|，
所以co