人教版高中数学第4节 基本不等式.doc

第4节　基本不等式
考试要求　1.了解基本不等式的证明过程.2.能用基本不等式解决简单的最值问题.3.掌握基本不等式在生活实际中的应用.
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
2.ab≤≤.
3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错.
4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(　　)
(2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)
(3)函数y＝sin x＋，x∈的最小值是4.(　　)
(4)“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，≥成立的条件是a＞0，b＞0.
(2)由于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，故函数y＝x＋无最小值.
(3)sin x＋的最小值不为4.
(4)“＋≥2”的充要条件是xy＞0.
2.(易错题)当x＜0时，函数y＝x＋(　　)
A.有最大值－4 B.有最小值－4
C.有最大值4 D.有最小值4
答案　A
解析　y＝x＋＝－≤
－2＝－4.
当且仅当x＝－2时等号成立，故选A.
3.(易错题)函数y＝x(3－2x)的最大值为(　　)
A.3 B. C. D.
答案　D
解析　y＝x(3－2x)≤·＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时等号成立.
4.(2022·滨州三校联考)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)
A.1＋ B.1＋
C.3 D.4
答案　C
解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.
5.(2021·长沙月考)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则当这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.
答案　15　
解析　设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30(0＜x≤18)，所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.
6.(2021·天津卷)若a＞0，b＞0，则＋＋b的最小值为________.
答案　2
解析　∵a＞0，b＞0，
∴＋＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2，当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时等号成立，
∴＋＋b的最小值为2.
　考点一　利用基本不等式求最值
角度1　配凑法
例1 (1)已知0＜x＜，则x的最大值为________.
答案　
解析　∵0＜x＜，∴1－2x2＞0，
x＝·x≤
·＝.
当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝时等号成立.
(2)已知x＞，则f(x)＝4x－2＋的最小值为________.
答案　5
解析　∵x＞，∴4x－5＞0，
∴f(x)＝4x－2＋＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5，
当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号.
(3)已知函数f(x)＝(x<－1)，则(　　)
A.f(x)有最小值4 B.f(x)有最小值－4
C.f(x)有最大值4 D.f(x)有最大值－4
答案　A
解析　f(x)＝＝
＝－＝－
＝－(x＋1)＋＋2.
因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，
所以f(x)≥2＋2＝4，
当且仅当－(x＋1)＝，即x＝－2时，等号成立.
故f(x)有最小值4.
角度2　常数代换法
例2 若直线2mx－ny－2＝0(m＞0，n＞0)过点(1，－2)，则＋的最小值为(　　)
A.2 B.6
C.12 D.3＋2
答案　D
解析　因为直线2mx－ny－2＝0(m＞0，n＞0)过点(1，－2)，
所以2m