2022届高考数学一轮复习（人教版）第1章 §1.4　不等关系与不等式.docx

§1.4　不等关系与不等式
考试要求　1.掌握等式的性质.2.会比较两个数(式)的大小.3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用．
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法 (a，b∈R)
(2)作商法 (a∈R，b>0)
2．不等式的基本性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔b<a
⇔
传递性
a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
⇒ac>bc
注意c的符号
⇒ac<bc
同向可加性
⇒a＋c>b＋d
⇒
同向同正可乘性
⇒ac>bd
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
a，b同为正数
可开方性
a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)
a，b同为正数
微思考
1．两个正数a，b，如果a>b，则与的大小关系如何？
提示　如果a>b>0，则>.
2．非零实数a，b，如果a>b，则与的大小关系如何？
提示　如果ab>0且a>b，则<.
如果a>0>b，则>.
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　√　)
(2)若a>b，则ac>bc.(　×　)
(3)若>1，则a>b.(　×　)
(4)若>>0，则b>a>0.(　√　)
题组二　教材改编
2．若M＝(x－3)2，N＝(x－2)(x－4)，则有(　　)
A．M>N B．M≥N
C．M<N D．M≤N
答案　A
解析　因为M－N＝(x－3)2－(x－2)(x－4)＝1>0，
所以M>N.
3．若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　)
A.－>0 B.－<0
C.> D.<
答案　D
解析　∵c<d<0，
∴0<－d<－c，
又0<b<a，
∴－bd<－ac，即bd>ac，
又∵cd>0，∴>，即>.
4．比较两数的大小：＋________＋.
答案　>
解析　∵(＋)2＝17＋2，(＋)2＝17＋2，
∴(＋)2>(＋)2，
∴＋>＋.
题组三　易错自纠
5．(多选)下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b>0，则ac2>bc2
B．若a<b<0，则a2>ab>b2
C．若a>b>0且c<0，则>
D．若a>b且>，则ab<0
答案　BCD
解析　当c＝0时，不等式不成立，∴A中命题是假命题；⇒a2>ab，⇒ab>b2，∴a2>ab>b2，∴B中命题是真命题；a>b>0⇒a2>b2>0⇒0<<，
∵c<0，∴>，∴C中命题是真命题；>⇒－>0⇒>0，∵a>b，∴b－a<0，ab<0，∴D中命题是真命题，故选BCD.
6．已知－1<a<2，－3<b<5，则a－b的取值范围是________．
答案　(－6,5)
解析　∵－3<b<5，∴－5<－b<3，
又－1<a<2，∴－6<a－b<5.
题型一 比较两个数(式)的大小
例1 (1)(2021·首都师范大学附属中学月考)设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与N的大小关系是(　　)
A．M>N B．M≥N
C．M<N D．M≤N
答案　A
解析　因为M－N＝2a(a－2)＋7－(a－2)(a－3)＝a2＋a＋1＝2＋>0，所以M>N.
(2)若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．a<b<c B．c<b<a
C．c<a<b D．b<a<c
答案　B
解析　令函数f(x)＝，则f′(x)＝，
易知当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
因为e<3<4<5，
所以f(3)>f(4)>f(5)，
即c<b<a.
(3)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________．
答案　eπ·πe<ee·ππ
解析　＝＝π－e，
又0<<1,0<π－e<1，
∴π－e<1，即<1，即eπ·πe<ee·ππ.
思维升华 比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
跟踪训练1 (1)(2020·唐山模拟)已知x>0，y>0，M＝，N＝，则M和N的大小关系为(　　)
A．M>N B．M<N
C．M＝N D．以上都有可能
答案　A
解析　因为x>0，y>0，所以M－N＝－＝＝>0，即M>N.
(2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．
答案　M>N
解析　方法一　M－N＝－