2024年高考数学一轮复习（人教版） 第2章　§2.8　对数与对数函数.docx

§2.8　对数与对数函数
考试要求　1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
知识梳理
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
3．对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性
质
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；
当0<x<1时，y<0
当x>1时，y<0；
当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
1．logab·logba＝1，＝logab.
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若M＝N，则logaM＝logaN.(　×　)
(2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数．(　×　)
(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　)
(4)函数y＝log2x与y＝的图象重合．(　√　)
教材改编题
1．若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域是[0,1]，则函数f(x)的值域为(　　)
A．[0,1] B．(0,1)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
答案　A
解析　根据复合函数单调性同增异减可知f(x)在[0,1]上单调递增，
因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，则log21≤log2(x＋1)≤log22，
即f(x)∈[0,1]．
2．函数y＝loga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
答案　(3,2)
解析　∵loga1＝0，令x－2＝1，∴x＝3，y＝2，∴函数的图象过定点(3,2)．
3．eln 2＋＝________.
答案　4
解析　eln 2＋＝2＋log416＝2＋2＝4.
题型一　对数式的运算
例1　(1)若2a＝5b＝10，则＋的值是(　　)
A．－1 B. C. D．1
答案　D
解析　由2a＝5b＝10，
∴a＝log210，b＝log510，
∴＝lg 2，＝lg 5，
∴＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
(2)计算：log535＋－log5－log514＝________.
答案　2
解析　原式＝log535－log5－log514＋
＝log5＋
＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2.
思维升华　解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
跟踪训练1　(1)(2022·保定模拟)已知2a＝3，b＝log85，则4a－3b＝________.
答案　
解析　因为2a＝3，所以a＝log23，
又b＝log85，
所以b＝log25，
所以a－3b＝log2，4a－3b＝＝.
(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋lg 4－log34×log23＝________.
答案　－1
解析　原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋－×＝lg 5＋lg 2－2＝1－2＝－1.
题型二　对数函数的图象及应用
例2　(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a