人教版高中数学4.1 等差数列（精讲）（基础版）（解析版）.docx

4.1 等差数列（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 等差数列基本量的计算
【例1】（2022·福建三明）已知等差数列{}的前n项和为，且，，则＝（       ）
A．6 B．10 C．12 D．20
【答案】B
【解析】因为，，所以解得，
所以，故选：B
1.方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．
2.整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
3.利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．
温馨提示
【一隅三反】
1．（2022·陕西汉中）已知等差数列的前项和为，，，则等差数列的公差是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，由题意可得，解得.故选：D.
2．（2022·内蒙古呼和浩特）已知在等差数列中，，则（       ）
A．30 B．39 C．42 D．78
【答案】B
【解析】设等差数列的首项为 ，公差为 ，则 ，解得 ，
故，故选：B
3．（2022·陕西·西安工业大学附中）设等差数列的前项和为，若，，则（       ）
A．20 B．23 C．24 D．28
【答案】D
【解析】因为是等差数列，所以，又，所以公差为，
，故选：D.
考点二 等差中项
【例2-1】（2022·北京通州·一模）设等差数列的前n项和为，若，则（        ）
A．60 B．70 C．120 D．140
【答案】B
【解析】在等差数列中，，则 ，故，选：B
【例2-2】（2022·浙江杭州·二模）设等差数列的前n项和为，若，则（　　）
A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】C
【解析】由等差中项的性质得 ， ，即 ，
，故选：C.
【例2-3】（2022·安徽滁州）已知是公差不为零的等差数列，若，则（       ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】由等差数列的性质得，所以,即故选:A
【一隅三反】
1．（2022·河北石家庄·二模）等差数列的前n项和记为，若，则（       ）
A．3033 B．4044 C．6066 D．8088
【答案】C
【解析】由等差数列知，，所以，
故选：C
2．（2022·河南平顶山）已知为正项等差数列的前n项和，若，则（       ）
A．22 B．20 C．16 D．11
【答案】A
【解析】由题意设正项等差数列的首项为 ，公差为 故由得： ，
即，故，故选：A
3．（2022·全国·高三专题练****已知数列满足且，则（       ）
A．-3 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】,∴数列是以2为公差的等差数列，
，
，，，故选：B.
考点三 前n项和的性质
【例3-1】（2022·北京石景山）记为等差数列的前项和，若，，则（       ）
A．36 B．45 C．63 D．75
【答案】B
【解析】因为为等差数列的前项和，所以成等差数列，即成等差数列，
所以，解得，故选：B.
【例3-2】（1）（2022·江西·临川一中）已知数列和都是等差数列，且其前n项和分别为和，若，则（       ）
A． B． C． D．
（2）（2022·四川师范大学附属中学二模（理））设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（       ）
A． B． C． D．3
【答案】（1）B（2）B
【解析】（1）对于等差数列的前n项和满足，知道，故.
故选：B.
（2）由等差数列的前项和公式满足形式，设，则，故.故选：B.
【例3-3】（2022·全国·高三专题练****等差数列的前项和为，若且，则(       )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设的公差为d，∵∴，
即{}为等差数列，公差为，由知，故故选：A﹒
【例3-4】（1）（2022·内蒙古赤峰）已知等差数列的前n项和为，若，，则取最大值时正整数n的值为（       ）
A．9 B．10 C．11 D．12
（2）（2022·重庆·二模）（多选）设等差数列前项和为，公差，若，则下列结论中正确的有（       ）
A． B．当时，取得最小值
C．