人教版高中数学8.6 周期性与对称性（精讲）（基础版）（解析版）.docx

8.6 周期性与对称性（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 对称性
【例1-1】（2022·浙江 已知函数的图像关于点对称，则（    ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【解析】图象关于点对称，，
又，
，
，解得：，.故选：C.
【例1-2】（2022·湖北）设函数，则满足的的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】假设，
所以，所以，
所以为奇函数，
而是向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以的对称中心为，所以，
由求导得
因为，当且仅当即，取等号，
所以所以在R上单调递增，
因为得
所以，解得，故选：B
【一隅三反】
1．（2022·河南安阳）设函数，若函数的图象关于点对称，则（    ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为函数的图象关于点对称，故函数的图象关于点对称，
即为奇函数，故，
所以.故选：B.
2．（2022·全国·单元测试）（多选）已知函数，则（    ）
A．在单调递增
B．在单调递增，在单调递减
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
【答案】BC
【解析】函数的定义域满足 ，即，
即函数的定义域是，
∵，
设，则函数在单调递增，在单调递减，
又函数单调递增，
由复合函数单调性可知函数在单调递增，在单调递减，故A错误，B正确；
因为,,
所以，即函数图象关于直线对称，故C正确；
又，，
所以，所以D错误．故选：BC．
3．（2022·浙江宁波 ）已知函数，使不等式成立的一个必要不充分条件是（    ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解析】因为函数，
所以函数的图象关于对称，当时，单调递增，
根据对称性可知，当时，单调递减，
若不等式成立，则，
即，可得，解得或，
结合选项可知使不等式成立的一个必要不充分条件是或，
故选：D
4．（2022·全国·高一课时练****已知图象开口向上的二次函数，对任意，都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得函数图象的对称轴是直线，
又二次函数图象开口向上，若在区间上单调递减，
则，解得．
故选：B.
考点二 周期性
【例2-1】（2022·陕西 ）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ）
A．3 B．0 C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，所以的周期为4，
所以，
又是定义在上的奇函数，所以，
所以，
又因为在中，令，得，
所以，又当时，，所以令，，
所以.故A，B，C错误.
故选：D.
【例2-2】（2022·安徽蚌埠·一模）已知定义在上的偶函数满足，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意, 函数满足, 则,
又由为偶函数，则有,
则有,
即函数是周期为4的周期函数,
，令可得.
，，
所以
故选：B
【一隅三反】
1．（2022·新疆 ）已知是定义域为R的奇函数，满足，若，则
（    ）
A．2 B． C．0 D．2022
【答案】A
【解析】,又，
，函数的周期.
又函数是定义域为R的奇函数，，
，，
，又
.
故选：A.
2．（2022·山西·太原市外国语学校高三开学考试）已知是上的奇函数，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，函数为上的奇函数，可得，
所以，所以是周期为4的周期函数，
所以，
因为，令，得，
因为为上的奇函数，所以，
所以.
故选：A.
3．（2022·广西桂林·模拟预测（文））函数的最小正周期是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
因为，
所以的最小正周期为.
故选：D.
4．（2022·云南红河 ）已知是定义在R上的奇函数，，都有，若当时，，则（    ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】是定义在R上的奇函数，，得，当时，，，都有，是周期为4的周期函数，
.故选：C.
考点三 函数性质的综合运用
【例3-1】（2022·广东）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，故函数是周期函数，且周期为，
则，，，
因为奇函数在区间上是增函数，则