人教版高中数学10.3 平面向量的应用（精练）（提升版）（解析版）.docx

10.3 平面向量的应用（精练）（提升版）
题组一 平面向量在几何中的运用
1．（2023·全国·高三专题练****已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则边上的中线长为（       ）
A．49 B．7 C． D．
【答案】D
【解析】因为，故可得，
根据余弦定理可得，故，
不妨取中点为，故，
故.
即边上的中线长为.
故选：.
2（2022·海南·模拟预测）在直角梯形ABCD中，，，且，.若线段CD上存在唯一的点E满足，则线段CD的长的取值范围是（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 如图所示，以A为坐标原点，和分别为x轴和y轴正方向建立直角坐标系.
则 , 设DE的长为x，则 ，
则，，所以，解得或，由题意知： ，且点
E存在于CD上且唯一，知CD的长的取值范围是，故选：B.
3．（2022·云南）中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系，
因为，，所以，，，
设，
因为、、三点共线，所以，，，
因为，、、三点共线，所以，
联立，解得，，，
因为，，所以，，
因为，
所以，
故选：A.
4（2022·全国·信阳高中）已知四边形是矩形，，，，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解法一 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，则，，，.
∴，，，.
∴，.
∴，.
∵，
∴，即.
又，
所以，.
∴.
∴.
∵，∴.
故选：C.
解法二：∵，
，
∴.
∵，∴，得.∴，
.
∴.
故选：C.
5（2022·湖南张家界）如图，在梯形ABCD中，，，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，以点为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
，，，，
，，，
，
设，则，其中，
，，
，
时，取得最小值．
故选：C.
6．（2022·浙江·镇海中学）已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设与夹角为，与所成夹角为，
，
所以，，①
，②
又，③
②与③联立可得，④
①④联立可得，
当且仅当时，取等号，，，则，
故与所成夹角的最大值是，
7（2022·湖南·周南中学）已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足，，则的最小值为（       ）
A．0 B． C． D．2
【答案】C
【解析】由题意知：，设，
∴
，∴，
以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系：
，，，设，且
则，，
当时，
故选：C.
8．（2022·江苏·无锡市教育科学研究院）点是边长为2的正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】不妨假设在上且，如下图示，
所以，在且，设，
则，，，
所以，
故，
当时，的最小值为.
故答案为：
9．（2022·上海市晋元高级中学）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】过点作于所以且,其中,
当点与点重合时，在方向上的投影最大，此时,取得最大值为；
当点与点重合时，此时，即,故,取得的最小值为
的取值范围是．
故答案为：．
10．（2021·湖南）已知平面四边形中，，，，，，则_______.
【答案】
【解析】如图以为原点建立直角坐标系，
则，设，
∴，由知，
∴，解得，即，
∴，
∴.
故答案为：.
题组二 三角形的四心
1．（2022·湖南湘潭·高三开学考试）在四边形中，为的重心，，点在线段 上， 则的最小值为（       ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】如图所示：
因为，
所以，
于是有，
又，当且仅当时取等号，
所以.
故选：