人教版高中数学10.5 抛物线（精练）（基础版）（解析版）.docx

10.5 抛物线（精练）（基础版）
题组一 抛物线的定义及运用
1．（2022·云南）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为2，则（       ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【解析】由，可得其焦点，准线方程为，
因为点到该抛物线焦点的距离为2，所以点到抛物线准线的距离为，
则，解得，故选：C.
2．（2022·云南·罗平县）若抛物线上的一点到它的焦点的距离为8，则（       ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【解析】由题意，抛物线上的一点到它的焦点的距离为8，
根据抛物线的定义，可得，解得.故选：D.
3．（2022·安徽·高三开学考试）设抛物线上一点到轴的距离是1，则点到该抛物线焦点的距离是（       ）
A．3 B．4 C．7 D．13
【答案】B
【解析】因为，则准线方程为，
依题意，点到该抛物线焦点的距离等于点到其准线的距离，即.
故选: B.
4．（2022·全国·课时练****某学****小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为图2所示的抛物线形，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点处，已知卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，卫星接收天线的轴截面的上、下顶点分别记为，，
设轴截面所在的抛物线的标准方程为，
由已知条件，得点，所以，解得，
所以所求焦点坐标为，
因此卫星接收天线的轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为．
故选：B
5．（2022·河南平顶山）已知抛物线，为该抛物线上一点，B为圆上的一个动点，则的最小值为___________.
【答案】3
【解析】由题意得：,抛物线焦点为，准线为，
则
,当A,F,C三点共线时取等号，
而，故的最小值为，
故答案为：3
6．（2022·全国·课时练****已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】抛物线的焦点，准线方程为．
过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，
由抛物线的定义可得，
则，
当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
7．（2023·全国·高三专题练****已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则
的最小值为__________．
【答案】5
【解析】由题意，抛物线的准线为，焦点坐标为，过点向准线作垂线，垂足为，则，
当共线时，和最小；过点向准线作垂线，垂足为，则，所以最小值为5.故答案为：5.
题组二 抛物线的标准方程
1．（2022·云南）一个正三角形的两个顶点在抛物线上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为，则该抛物线的标准方程为______．
【答案】
【解析】设正三角形边长为x．由三角形的面积公式：，解得：．
由抛物线的对称性，可知正三角形在抛物线上的两点关于x轴对称，则当时，三角形的一个顶点坐标为，代入得；当时，三角形的一个顶点坐标为，代入得．
综上，.
所以抛物线的标准方程为．
故答案为：
2．（2021·海南 ）已知抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程是__________．
【答案】
【解析】由题意，设抛物线的标准方程为，准线方程是，
 抛物线的准线方程为，
 ，解得，
即所求抛物线的标准方程为
故答案为：
3．（2021·北京二中 ）已知抛物线过点，则其准线方程为___________.
【答案】
【解析】抛物线经过点，，解得：，抛物线的准线方程为，
故答案为：．
4．（2022·福建泉州 ）已知抛物线上有一点与焦点之间的距离为3，则___________.
【答案】2
【解析】由题意可得：准线为，故，则故答案为：2．
5．（2022·湖南 ）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，到准线的距离为，且，则抛物线的方程为____________.
【答案】
【解析】依题意可得，所以抛物线的方程为.
故答案为：
6．（2022·全国· 单元测试）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m．
【答案】
【解析】以抛物线的最高点O为坐标