人教版高中数学第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 (精练）（教师版）.docx

第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 (精练）
一、单选题
1．在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则等于（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解：依题意，所以，即，
所以；
故选：A
2．在梯形ABCD中，且，点P在边BC上，若，则实数（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：延长、交于点，则、、三点共线，于是可得，
因为且，所以，
所以，故；
故选：A
3．如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，
所以
,
故选：A
4．已知向量，若，则实数的值为（       ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
因为，
所以，.
因为，
所以，解得：.
故选：A
5．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n等于（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
如图，连接AO，由O为BC的中点可得，
∵M，O，N三点共线，则即
故选： C
6．直角三角形中，是斜边上一点，且满足，点、在过点的直线上，若，，，则下列结论错误的是（       ）
A．为常数 B．的最小值为
C．的最小值为 D．、的值可以为，
【答案】B
如下图所示：
由，可得，
，
若，，，
则，，
，
、、三点共线，
，，
故A正确；
所以，时，也满足，则D选项正确；
，当且仅当时，等号成立，C选项成立；
，当且仅当时，即，时等号成立，故B选项错误.
故选：B
二、多选题
7．如图，在中，分别是边上的中线，它们交于点G，则下列各等式中正确的是（       ）
B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】
解：由三角形重心性质得，
所以，A正确；
因为，B正确；
由重心性质得，，C错误；
因为，
所以，
即，D正确．
故选：ABD．
8．如图，在四边形中，，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），且，则下列说法正确的是（       ）
A． B．若为线段的中点，则
C．的最小值为 D．的最大值比最小值大
【答案】ABD
【详解】
解：如图1，补全图形，则在直角中，，则， ，，又，所以，A正确；
故以点为坐标原点，方向为轴建立平面直角坐标系，如图2.
所以，，
所以，当为线段的中点时，，此时，故由
得，解得，故，B正确；
，所以当时， 取得最小值，故C错误；
，故由得，故当时，取得最小值，时，取得最大值，故，D正确.
故选：ABD
三、填空题
9．若，则与同方向的单位向量是______．
【答案】
由已知，，
所以与同方向的单位向量是．
故答案为：
10．若是直线外一点，为线段的中点，，，则______．
【答案】
因为为线段的中点，所以，
所以，
又因为，所以，所以．
故答案为：.
11．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，7＝5，＝4，EF交AC于点K，，则实数λ的值为________.
【答案】－
因为，所以. 又E，F，K三点共线，所以，解得：λ＝－.
故答案为：－
12．已知向量，，，若，则的最小值___________．
【答案】
，，
∴，
当且仅当时取等号.
故答案为：.
四、解答题
13．如图所示，已知矩形ABCD中，，AC与MN相交于点E．
(1)若，求和的值；
(2)用向量表示．
【答案】(1)，(2)
(1)以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，
所以
所以，
所以
解得
(2)设，
因为，
所以．解得，
即，所以，
又因为M，E，N三点共线，所以，
所以﹒
14．如图所示，在△ABO中，，，AD与BC交于点M．设，．
(1)试用向量，表示；
(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设，，其中，．证明：为定值，并求出该定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析，定值为5.
(1)设，
由A，M，D三点共线，可