人教版高中数学第5章 §5.5　复　数.docx

§5.5　复　数
考试要求　1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
知识梳理
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位．
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：
a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.
常用结论
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)复数z＝a－bi(a，b∈R)中，虚部为b.(　×　)
(2)复数可以比较大小．(　×　)
(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(　×　)
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．
(　√　)
教材改编题
1．已知复数z满足(2＋i)z＝1－i，其中i是虚数单位，则z在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　D
2．复数z＝(3＋i)(1－4i)，则复数z的实部与虚部之和是________．
答案　－4
解析　z＝(3＋i)(1－4i)＝3－12i＋i＋4＝7－11i，故实部和虚部之和为7－11＝－4.
3．若z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为________．
答案　－3
题型一　复数的概念
例1　(1)(2021·浙江)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a等于(　　)
A．－1 B．1 C．－3 D．3
答案　C
解析　方法一　因为(1＋ai)i＝－a＋i＝3＋i，所以－a＝3，解得a＝－3.
方法二　因为(1＋ai)i＝3＋i，所以1＋ai＝＝1－3i，所以a＝－3.
(2)(2022·新余模拟)若复数z满足＝1－i，则复数的虚部为(　　)
A．i B．－i C．1 D．－1
答案　C
解析　∵＝1－i，
∴z(1＋i)(－i)＝(2－i)(1－i)，
∴z(1－i)＝(2－i)(1－i)，
∴z＝2－i，
∴＝2＋i，
∴的虚部为1.
教师备选
1．(2020·全国Ⅲ)若(1＋i)＝1－i，则z等于(　　)
A．1－i B．1＋i C．－i D．i
答案　D
解析　因为＝＝＝－i，
所以z＝i.
2．(2020·全国Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|等于(　　)
A．0 B．1 C. D．2
答案　D
解析　方法一　z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，
|z2－2z|＝|－2|＝2.
方法二　|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|
＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i|·|－1＋i|＝2.
思维升华　解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的