人教版高中数学2 第2讲　参数方程 新题培优练.doc

[基础题组练]
1．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
解：(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．
设P(x，y)，由题设得
消去k得x2－y2＝4(y≠0)．
所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．
联立
得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．
故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝，
代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为.
2．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点．
当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.
综上，α的取值范围是.
(2)l的参数方程为(t为参数，＜α＜)．
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.
又点P的坐标(x，y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是
(α为参数，＜α＜)．
3．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)已知直线l过点P(1，0)且与曲线C交于A，B两点，若|PA|＋|PB|＝，求直线l的倾斜角α.
解：(1)由ρ＝2cos＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x2＋y2＝2x＋2y⇒(x－1)2＋(y－1)2＝2.
故曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)由条件可设直线l的参数方程为(t为参数)，代入圆的方程，有t2－2tsin α－1＝0，
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝2sin α，t1t2＝－1，|PA|＋|PB|＝|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，
解得sin α＝或sin α＝－(舍去)，故α＝或.
4．(2019·合肥质检)在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为ρ＝4sin.
(1)写出曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；
(2)若过点A(极坐标)且倾斜角为的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为
P，求的值．
解：(1)由题意可得曲线C的普通方程为＋＝1，
将代入曲线C的普通方程可得，曲线C的极坐标方程为＋＝1.