人教版高中数学2 第2讲　函数的单调性与最值.doc

第2讲　函数的单调性与最值
最新考纲
考向预测
1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.
2.会运用基本初等函数图象分析函数的单调性.
命题
趋势
以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.
核心
素养
逻辑推理、数学抽象、数学运算
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得
f(x0)＝M
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(2)存在x0∈I，使得
f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
常用结论
1．函数单调性的两个等价结论
设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则
(1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增．
(2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减．
2．函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
常见误区
1．求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，忽略定义域研究函数的单调性是常见的错误．
2．有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　　)
(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)
(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)
(4)所有的单调函数都有最值．(　　)
(5)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A．y＝－x　　　　　　　　 B．y＝x2－x
C．y＝ln x－x D．y＝ex
解析：选A.对于A，y1＝在区间(0，＋∞)上是减函数，y2＝x在区间(0，＋∞)上是增函数，则y＝－x在区间(0，＋∞)上是减函数；B，C选项中的函数在区间(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y＝ex在区间(0，＋∞)上是增函数．
3．(易错题)已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，1] B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
解析：选B.设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在区间(－∞，－1]上单调递减，在区间[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．
4．已知函数f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为__________．
解析：可判断函数f(x)＝在区间[2，6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.
答案：2　
5．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．
解析：因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－.
答案：
　　　　　　确定函数的单调性(区间)
角度一　判断或证明函数的单调性
试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
【解】　方法一：设－1<x1<x2<1，
f(x)＝a＝a，