人教版高中数学第1讲　变化率与导数、导数的计算.doc

第1讲　变化率与导数、导数的计算
一、知识梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率Error! No bookmark name given.＝Error! No bookmark name given.为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝Error! No bookmark name given.＝Error! No bookmark name given.．
[提醒]　f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝Error! No bookmark name given.为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
(x>0，a>0且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
(x>0)
f′(x)＝
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
[提醒]　求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1与(ax)′＝axln a相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：′＝，(cos x)′＝sin x.
常用结论
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
二、教材衍化
1．函数y＝xcos x－sin x的导数为(　　)
A．xsin x　　 B．－xsin x　　
C．xcos x　　 D．－xcos x
解析：选B．y′＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
2．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为________．
解析：因为y′＝，所以y′|x＝－1＝2.
故所求切线方程为2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　)
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(　　)
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)
(5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
二、易错纠偏
(1)混淆平均变化率与导数的区别；
(2)导数的运算法则运用不正确．
1．函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为________，在x＝2处的导数为________．
解析：函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为＝3；因为f′(x)＝2x，所以f(x)在x＝2处的导数为2×2＝4.
答案：3　4
2．函数y＝的导函数为________．
解析：y′＝＝.
答案：y′＝
考点一　导数的运算(基础型)
复****指导1.能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝的导数．
2．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
核心素养：数学运算
角度一　求已知函数的导数
求下列函数的导数：
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝l