人教版高中数学第1节 任意角和弧度制及三角函数的概念.doc

第1节　任意角和弧度制及三角函数的概念
考试要求　1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义
前提
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y
余弦
x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x
正切
叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0)
三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝；cos α＝，tan α＝(x≠0).
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.
3.象限角
4.轴线角
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.(　　)
(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.(　　)
(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(　　)
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)锐角的取值范围是.
(2)第一象限角不一定是锐角.
2.(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案　AC
解析　因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°＜2α＜k·360°＋180°，k∈Z，
则有k·180°＜α＜k·180°＋90°，k∈Z.
故当k＝2n，n∈Z时，n·360°＜α＜n·360°＋90°，n∈Z，α为第一象限角；
当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°＜α＜n·360°＋270°，n∈Z，α为第三象限角.故选AC.
3.(2021·肇庆二模)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与以O为圆心的单位圆相交于A点.若A的横坐标为，则(　　)
A.sin α＝ B.cos 2α＝－
C.sin 2α＝－ D.tan 2α＝－
答案　B
解析　由三角函数的定义，可得cos α＝，则sin α＝±，cos 2α＝2cos2α－1＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝±，tan 2α＝±，所以选B.
4.(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　)
A.cos 2α>0 B.cos 2α<0
C.sin 2α>0 D.sin 2α<0
答案　D
解析　∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0，∴sin 2α＝2sin αcos α<0，故选D.
5.在0到2π范围内，与角－终边相同的角是________.
答案　
解析　与角－终边相同的角是
2kπ＋(k∈Z)，
令k＝1，可得与角－终边相同角是.
6.(易错题)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－，则y＝________.
答案　－3
解析　因为sin θ＝－＜0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y＜0，
由三角函数的定义，得＝－.
解得y＝－3.
　考点一　象限角及终边相同的角
1.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
答案　C
解析　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C.
2.设集合M＝，N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，那么(