人教版高中数学第3讲　函数的奇偶性与周期性.doc

第3讲　函数的奇偶性与周期性
一、选择题
1.(2017·肇庆三模)在函数y＝xcos x，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsin x中，偶函数的个数是(　　)
A.3 B.2 C.1 D.0
解析　y＝xcos x为奇函数，y＝ex＋x2为非奇非偶函数，y＝lg与y＝xsin x为偶函数.
答案　B
2.(2015·湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)
A.奇函数，且在(0，1)内是增函数
B.奇函数，且在(0，1)内是减函数
C.偶函数，且在(0，1)内是增函数
D.偶函数，且在(0，1)内是减函数
解析　易知f(x)的定义域为(－1，1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，则y＝f(x)为奇函数，
又y＝ln(1＋x)与y＝－ln(1－x)在(0，1)上是增函数，
所以f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)在(0，1)上是增函数.
答案　A
3.(2017·赣中南五校联考)已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为(　　)
A.5 B.1 C.－1 D.－3
解析　∵y＝f(x)是奇函数，且f(3)＝6.∴f(－3)＝－6，则9－3a＝－6，解得a＝5.
答案　A
4.已知函数f(x)＝x，若f(x1)<f(x2)，则(　　)
A.x1>x2 B.x1＋x2＝0
C.x1<x2 D.x<x
解析　∵f(－x)＝－x＝f(x).
∴f(x)在R上为偶函数，
f′(x)＝ex－＋x，
∴x>0时，f′(x)>0，∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
由f(x1)<f(x2)，得f(|x1|)<f(|x2|)，
∴|x1|<|x2|，∴x<x.
答案　D
5.(2017·西安一模)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为(　　)
A.2 B.1 C.－1 D.－2
解析　∵f(x＋1)为偶函数，
∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，则f(－x)＝f(x＋2)，
又y＝f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，且f(0)＝0.
从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，y＝f(x)的周期为4.
∴f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2.
答案　A
二、填空题
6.若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.
解析　由于f(－x)＝f(x)，
∴ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，
化简得2ax＋3x＝0(x∈R)，则2a＋3＝0，
∴a＝－.
答案　－
7.(2017·合肥质检)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝________.
解析　由于函数f(x)是周期为4的奇函数，
所以f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin ＝.
答案　
8.定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，则满足f(x)>0的x的集合为________.
解析　由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，