人教版高中数学第3讲　基本不等式.doc

第3讲　基本不等式
一、知识梳理
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
[点拨]　应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略某个条件，就会出错．
2．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)
[点拨]　在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．
常用结论
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
二、教材衍化
1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)
A．80 B．77
C．81 D．82
解析：选C．xy≤＝＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C．
2．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．
解析：设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，所以S＝xy≤＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号．
答案：25 m2
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)
(2)ab≤成立的条件是ab>0.(　　)
(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　　)
(4)若a>0，则a3＋的最小值是2.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、易错纠偏
常见误区(1)忽视不等式成立的条件a>0且b>0；
(2)忽视定值存在；
(3)忽视等号成立的条件．
1．若x<0，则x＋(　　)
A．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2
解析：选D．因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.
2．若x>1，则x＋的最小值为________．
解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.
当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．
答案：5
3．设0<x<1，则函数y＝2x(1－x)的最大值为________．
解析：y＝2x(1－x)≤2＝.
当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．
答案：
考点一　利用基本不等式求最值(基础型)
探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
核心素养：逻辑推理
角度一　通过配凑法求最值
(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．
(2)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．
【解析】　(1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·＝，
当且仅当3x＝4－3x，
即x＝时，取等号．
(2)因为x<，所以5－4x>0，
则f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
【答案】　(1)　(2)1
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
角度二　通过常数代换法求最值
已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________．
【解析】　＝＝·
＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，取等号．
【答案】　9
【迁移探究1】　(变问法)若本例中的条件不变，则＋的最小值为________．
解析：因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．
答案：4
【迁移探究2】　(变条件)若本例条件变为：已知a>0，b>0，4a＋b＝4，则的最小值为________．
解析：由