人教版高中数学第4讲　第2课时　三角函数的图象与性质(二).doc

第2课时　三角函数的图象与性质(二)
考点一　三角函数的周期性与奇偶性(基础型)
借助正弦、余弦、正切的图象，了解三角函数的奇偶性及周期性．
核心素养：逻辑推理、数学运算
(1)函数f(x)＝2cos2－1是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
(2)(2020·湖北宜昌联考)已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，则(　　)
A．ω＝2，θ＝　　　　　　 B．ω＝，θ＝
C．ω＝，θ＝ D．ω＝2，θ＝
【解析】　(1)因为f(x)＝2cos2－1
＝cos＝cos＝sin 2x.
所以T＝＝π，f(x)＝sin 2x是奇函数．
故函数f(x)是最小正周期为π的奇函数．
(2)因为函数y＝2sin(ωx＋θ)的最大值为2，且其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，所以函数y＝2sin(ωx＋θ)的最小正周期是π.
由＝π得ω＝2.
因为函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，所以θ＝＋kπ，k∈Z.
又0＜θ＜π，所以θ＝，故选A．
【答案】　(1)A　(2)A
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，
而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为求解．
1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(　　)
A．y＝sin　　　　 B．y＝cos
C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x
解析：选B．y＝sin＝cos 2x是偶函数，不符合题意；y＝cos＝－sin 2x是T＝π的奇函数，符合题意；同理C，D均不是奇函数．
2．(2020·石家庄市质量检测)设函数f(x)＝sin
的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(　　)
A．f(x)在上单调递增
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递减
D．f(x)在上单调递增
解析：选A．f(x)＝sin，因为f(x)的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin.f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，所以φ－＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ＋(k∈Z)．因为|φ|＜，所以φ＝－，所以f(x)＝－cos 2x，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，故选A．
考点二　三角函数的对称性(基础型)
正弦、余弦函数图象的对称轴与x轴交点的横坐标均在三角函数取最值的地方(即波峰和波谷)取得，对称中心的横坐标均在三角函数值为0的地方(即平衡位置)取得．
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心是(　　)
A． B．
C． D．
【解析】　由题意可得＝π，所以ω＝2，
可得f(x)＝Asin(2x＋φ)，
再由函数图象关于直线x＝对称，
故f＝Asin＝±A，
故可取φ＝－.
故函数f(x)＝Asin，令2x－＝kπ，k∈Z，
可得x＝＋，k∈Z，故函数的对称中心为，k∈Z.
所以函数f(x)图象的一个对称中心是.
【答案】　B
三角函数图象的对称轴和
对称中心的求解思路和方法
(1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sin x图象的对称轴和对称中心求解．
(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)．
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)
A．2 B．
C．1 D．
解析：选A．依题意得函数f(x)的最小正周期T＝＝2×(－)＝π，解得ω＝2，选A．
2．已知函数f(x)＝|sin x||cos x|，则下列说法错误的是(　　)
A．f(x)的图象关于直线x＝对称
B．f(x)的周期为
C．(π，0)是f(x)的一个对称中心
D．f