人教版高中数学第4节 三角函数的图象与性质.doc

第4节　三角函数的图象与性质
考试要求　1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x x≠kπ＋}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式.
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.(　　)
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.(　　)
(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)
(4)y＝sin|x|是偶函数.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.
(2)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.
(3)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.
2.(2022·福州质检)下列函数中，周期为π，且在区间上单调递增的是(　　)
A.y＝|sin x| B.y＝tan 2x
C.y＝cos 2x D.y＝sin 2x
答案　C
解析　对于A，y＝|sin x|的周期为π，在上单调递减，不合要求；
对于B，y＝tan 2x的周期为，在和上单调递增，不合要求；
对于C，y＝cos 2x的周期为π，在上单调递增，符合要求；
对于D，y＝sin 2x的周期为π，在上不单调，不合要求.
3.(2022·青岛调研)函数y＝3tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　要使函数有意义，则2x＋≠kπ＋，k∈Z，
即x≠π＋，k∈Z，
所以函数的定义域为.
4.(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sin ＋cos 的最小正周期和最大值分别是(　　)
A.3π和 B.3π和2
C.6π和 D.6π和2
答案　C
解析　因为函数f(x)＝sin ＋cos ＝
＝
＝sin，所以函数f(x)的最小正周期T＝＝6π，最大值为.
5.(多选)(2022·广州一模)已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x，则(　　)
A.f(x)的最大值为3
B.f(x)的图象关于直线x＝对称
C.f(x)的图象关于点对称
D.f(x)在上单调递增
答案　BC
解析　f(x)＝sin 2x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1，则f(x)的最大值为＋1，故A错误；
f＝sin＋1＝＋1，
则f(x)的图象关于直线x＝对称，故B正确；
f＝sin＋1＝1，则f(x)的图象关于点对称，故C正确；
当x∈时，2x＋∈，故当2x＋∈，即x∈时，函数单调递增；
当2x＋∈，即x∈时，函数单调递减，故D错误.
6.cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.
答案　sin 68°＞cos 23°＞cos 97°
解析　sin 68°＝cos 22°，
又y＝cos x在[0°，180°]上是减函数，
∴sin 68°＞cos 23°＞cos 97°.
　考点一　三角函数的定义域和值域
1.f(x)＝sin3xcos x－sin xcos3x的最大值为(　　)
A. B. C. D.1
答案　B
解析　∵f(x)＝sin3xcos