2022届高考数学一轮复习（人教版）第3章 §3.3　导数与函数的极值、最值.docx

§3.3　导数与函数的极值、最值
考试要求　1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．
1．函数的极值与导数
条件
f′(x0)＝0
x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0
x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0
图象
极值
f(x0)为极大值
f(x0)为极小值
极值点
x0为极大值点
x0为极小值点
2.函数的最值与导数
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
微思考
1．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的什么条件？
提示　必要不充分．
2．函数的极大值一定大于极小值吗？
提示　不一定．函数的极大值可能大于、小于或等于函数的极小值．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(　×　)
(2)函数的极小值一定是函数的最小值．(　×　)
(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(　√　)
(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(　×　)
题组二　教材改编
2．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　A
解析　由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．
3．当x>0时，ln x，x，ex的大小关系是________．
答案　ln x<x<ex
解析　构造函数f(x)＝ln x－x，则f′(x)＝－1，可得x＝1为函数f(x)在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f(x)≤f(1)＝－1<0，所以ln x<x.同理可得x<ex，故ln x<x<ex.
4．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________．
答案　a3
解析　容积V＝(a－2x)2x,0<x<，则V′＝2(a－2x)×(－2x)＋(a－2x)2＝(a－2x)(a－6x)，由V′＝0得x＝或x＝(舍去)，则x＝为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时Vmax＝a3.
题组三　易错自纠
5．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－]∪[，＋∞)
B．(－∞，－)∪(，＋∞)
C．(－，)
D．[－，]
答案　B
解析　f′(x)＝3x2－2ax＋2，
由题意知f′(x)有变号零点，
∴Δ＝(2a)2－4×3×2>0，
解得a>或a<－.
6．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.
答案　4
解析　f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.
题型一 利用导数求函数的极值问题
命题点1　根据函数图象判断极值
例1　(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．f(x)有两个极值点
B．f(0)为函数的极大值
C．f(x)有两个极小值
D．f(－1)为f(x)的极小值
答案　BC
解析　由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)>0，
∴f′(x)<0，
当x∈(－2,0)时，g(x)<0，∴f′(x)>0，
当x∈(0,1)时，g(x)<0，∴f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，∴f′(x)>0.
∴f(x)在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减，
在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增．
故AD错误，BC正确．
命题点2　求已知函数的极值
例2 已知函数f(x)＝x2－1－2aln x(a≠0)，求函数f(x)的极值．
解　因为f(x)＝x2－1－2aln x(x>