2024年高考数学一轮复习（人教版） 第2章　§2.7　指数与指数函数.docx

§2.7　指数与指数函数
考试要求　1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
知识梳理
1．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝a.
当n为奇数时，＝a，
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0<y<1
当x<0时，y>1；
当x>0时，0<y<1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)＝－4.(　×　)
(2)2a·2b＝2ab.(　×　)
(3)函数y＝x－1的值域是(0，＋∞)．(　×　)
(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　×　)
教材改编题
1．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于(　　)
A．不确定 B．0 C．1 D．2
答案　C
解析　由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1，
由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.
2．计算：＝________.
答案　1
解析　原式＝＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1.
3．若指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________.
答案　2或
解析　若a>1，则f (x)max＝f(1)＝a＝2；若0<a<1，则f(x)max＝f(－1)＝a－1＝2，得a＝.
题型一　指数幂的运算
例1　计算：
(1)(－1.8)0＋－2·－＋；
(2)(a>0，b>0)．
解　(1)(－1.8)0＋－2·－＋
＝1＋
＝1＋2·2－10＋33
＝1＋1－10＋27＝19.
(2)
＝
＝2××8＝.
思维升华　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
跟踪训练1　计算：
(1) ；
(2).
解　(1)因为有意义，所以a>0，
所以原式＝＝÷＝a÷a＝1.
(2)原式＝＝10－1＋8＋23·32＝89.
题型二　指数函数的图象及应用
例2　(1)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是(　　)
A．a<b
B．若a<0，则b<a<0
C．|a|<|b|
D．若0<a<log32，则ab<ba
答案　BCD
解析　如图，
由指数函数的图象可知，0<a<b或者b<a<0，所以A错误，B，C正确；
D选项中，0<a<log32⇒0<a<b<1，则有ab<aa<ba，所以D正确．
(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
答案　(0,2)
解析　在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．
∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．
∴b的取值范围是(0,2)．
思维升华　对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
跟踪训练2　(多选)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常