2024年高考数学一轮复习（人教版） 第7章　§7.1　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积.docx

§7.1　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
考试要求　1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．
知识梳理
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
2.直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
4．柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
几何体　　
表面积
体积
柱体
S表＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体
S表＝S侧＋S底
V＝Sh
台体
S表＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S表＝4πR2
V＝πR3
常用结论
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)．
2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)菱形的直观图仍是菱形．(　×　)
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　×　)
(3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(　×　)
(4)锥体的体积等于底面积与高之积．(　×　)
教材改编题
1.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是(　　)
A．四棱台
B．四棱锥
C．四棱柱
D．三棱柱
答案　C
解析　由几何体的结构特征知，盛水部分的几何体是四棱柱．
2．下列说法正确的是(　　)
A．相等的角在直观图中仍然相等
B．相等的线段在直观图中仍然相等
C．正方形的直观图是正方形
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
答案　D
解析　由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变，正方形的直观图是平行四边形．
3．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D. cm
答案　B
解析　设圆锥底面圆的半径为r cm，母线长为l cm，
依题意得2πr＝πl，∴l＝2r，
S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm).
题型一　基本立体图形
命题点1　结构特征
例1　(多选)下列说法中不正确的是(　　)
A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台
B．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
答案　ABC
解析　由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台，故A错误；
由棱柱定义可知，棱柱是有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体，故B错误；
底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故C错误；
棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确．
命题点2　直观图
例2　已知水平放置的四边形OABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90°，O′A′＝1，B′C′＝2，则原四边形OABC的面积为(　　)
A. B