2024年高考数学一轮复习（人教版） 第9章　§9.4　列联表与独立性检验.docx

§9.4　列联表与独立性检验
考试要求　1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例，了解独立性检验及其应用．
知识梳理
1．分类变量
为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示．
2．列联表与独立性检验
(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：
X
Y
合计
Y＝0
Y＝1
X＝0
a
b
a＋b
X＝1
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
(2)计算随机变量χ2＝，利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验．
如表为5个常用的小概率值和相应的临界值．
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数．(　√　)
(2)事件A和B的独立性检验无关，即两个事件互不影响．(　×　)
(3)χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量．(　√　)
(4)在2×2列联表中，若|ad－bc|越小，则说明两个分类变量之间关系越强．(　×　)
教材改编题
1．某机构为调查网游爱好者是否有性别差异，通过调研数据统计：在500名男生中有200名爱玩网游，在400名女生中有50名爱玩网游．若要确定网游爱好是否与性别有关时，用下列最适合的统计方法是(　　)
A．均值 B．方差
C．独立性检验 D．回归分析
答案　C
解析　由题意可知，“爱玩网游”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断．
2．如表是2×2列联表，则表中a，b的值分别为(　　)
y1
y2
合计
x1
a
8
35
x2
11
34
45
合计
b
42
80
A.27,38 B．28,38
C．27,37 D．28,37
答案　A
解析　a＝35－8＝27，b＝a＋11＝27＋11＝38.
3．已知P(χ2≥6.635)＝0.01，P(χ2≥10.828)＝0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则根据小概率值α＝________的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．
答案　0.01
解析　因为6.635<7.235<10.828，所以根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．
题型一　列联表与χ2的计算
例1　(1)为了解某大学的学生是否喜欢体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表：
男
女
合计
喜欢
a
b
73
不喜欢
c
25
合计
74
则a－b－c等于(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
答案　C
解析　根据题意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，
补充完整2×2列联表为：
男
女
合计
喜欢
52
21
73
不喜欢
22
25
47
合计
74
46
120
∴a－b－c＝52－21－22＝9.
(2)为加强素质教育，使学生各方面全面发展，某学校对学生文化课与体育课的成绩进行了调查统计，结果如表：
体育课不及格
体育课及格
合计
文化课及格
57
221
278
文化课不及格
16
43
59
合计
73
264
337
在对体育课成绩与文化课成绩进行独立性检验时，根据以上数据可得到χ2的值为(　　)
A．1.255 B．38.214
C．0.003 7 D．2.058
答案　A
解析　χ2＝
＝≈1.255.
思维升华　2×2列联表是4行4列，计算时要准确无误，关键是对涉及的变量分清类别．
跟踪训练1　某次国际会议为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了50名记者担任对外翻译工作，在如表“性别与会外语”的2×2列联表中，a＋b＋d＝________.
会外语
不会外语
合计
男
a
b
20
女
6
d
合计
18
50
答案　44
解析　由题意得a＋b＋d＋6＝50，
所以a＋b＋d＝50－6＝44.
题型二　列联表与独立性检验
例2　(2022·全国甲卷改编)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车