2024年高考数学一轮复习（人教版） 第9章　必刷大题18　统计与统计分析.docx

必刷大题18　统计与统计分析
1．某中学为了解学生数学课程的学****情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩(满分100分)，得到了样本的频率分布直方图(如图)．
一般学校认为成绩大于等于80分的学生为优秀．
(1)根据频率分布直方图，估计3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数；
(2)依据样本的频率分布直方图，估计总体成绩的众数和平均数．
解　(1)由样本的频率分布直方图可知，
在该次数学考试中成绩优秀的频率是(0.020＋0.008)×10＝0.28，
则3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数为3 000×0.28＝840.
(2)由样本的频率分布直方图可知，总体成绩的众数为＝75，
平均数为
0.002×10×35＋0.006×10×45＋0.012×10×55＋0.024×10×65＋0.028×10×75＋0.020×10×85＋0.008×10×95＝71.2.
所以总体成绩的众数为75，平均数为71.2.
2．为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解疫情防护知识，提高预防能力，做到科学防护．某组织通过网络进行疫情防控科普知识问答．共有100人参加了这次问答，将他们的成绩(满分100分)分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]这六组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中a的值，并估计这100人问答成绩的中位数和平均数；(同一组数据用该组数据的中点值代替)
(2)用比例分配的分层随机抽样方法从问答成绩在[60,80)内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在[70,80)内的概率．
解　(1)由图可知，10×(2×0.005＋a＋0.02＋0.025＋0.03)＝1，
解得a＝0.015.
设中位数为x，
则0.05＋0.15＋0.2＋0.03×(x－70)＝0.5，
所以x＝.
这100人问答成绩的平均数为
45×0.05＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝72.
(2)用比例分配的分层随机抽样方法从问答成绩在[60,80)内的人中抽取一个容量为5的样本，
则问答成绩在[60,70)内的有×5＝2(人)，分别记为A，B；
问答成绩在[70,80)内的有×5＝3(人)，分别记为a，b，c.
从中任意抽取2人，则试验的样本空间
Ω＝{(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共有10个样本点．
设事件A为2人的问答成绩均在[70,80)内，
则A＝{(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共有3个样本点，
所以这2人的问答成绩均在[70,80)内的概率P(A)＝.
3．为弘扬劳动精神，树立学生“劳动最美，劳动最光荣”的观念，某校持续开展“家庭劳动大比拼”活动．某班统计了本班同学1～7月份的人均月劳动时间(单位：小时)，并建立了人均月劳动时间y关于月份x的经验回归方程＝x＋4，y与x的原始数据如表所示：
月份x
1
2
3
4
5
6
7
人均月劳动时间y