2024年高考数学一轮复习（人教版） 第10章　§10.3　二项式定理.docx

§10.3　二项式定理
考试要求　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
知识梳理
1．二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二项展开式的通项
Tk＋1＝Can－kbk，它表示展开式的第k＋1项
二项式系数
C(k＝0,1，…，n)
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝2n.
常用结论
1．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
2．C＝C＋C.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．(　×　)
(2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关．(　√　)
(3)通项公式Tk＋1＝Can－kbk中的a和b不能互换．(　√　)
(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．(　×　)
教材改编题
1.10的展开式中x2的系数等于(　　)
A．45 B．20 C．－30 D．－90
答案　A
解析　因为展开式的通项为Tk＋1＝，令－10＋k＝2，得k＝8，所以展开式中x2的系数为(－1)8×C＝45.
2．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝243，则C＋C＋C＋…＋C等于(　　)
A．31 B．32 C．15 D．16
答案　A
解析　逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝243，
即3n＝35，所以n＝5，
所以C＋C＋C＋…＋C＝25－1＝31.
3．若n的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．
答案　20
解析　因为二项式系数之和为2n＝64，所以n＝6，则Tk＋1＝C·x6－k·k＝Cx6－2k，当6－2k＝0，即k＝3时为常数项，T4＝C＝20.
题型一　通项公式的应用
命题点1　形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项
例1　(1)二项式10的展开式中的常数项是(　　)
A．－45 B．－10 C．45 D．65
答案　C
解析　由二项式定理得Tk＋1＝C10－k(－x2)k＝，令－5＝0得k＝2，所以常数项为(－1)2C＝45.
(2)已知5的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝__________.
答案　±1
解析　5的展开式的通项为Tk＋1＝Cx5－k·k＝(－a)kC.由5－k＝5，得k＝0，由5－k＝2，得k＝2，所以A＝C×(－a)0＝1，B＝C×(－a)2＝10a2，则由1＋10a2＝11，解得a＝±1.
命题点2　形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题
例2　(1)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　)
A．56 B．84 C．112 D．168
答案　D
解析　在(1＋x)8的展开式中含x2的项为Cx2＝28x2，(1＋y)4的展开式中含y2的项为Cy2＝6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168.
(2)在(2x＋a)6的展开式中，x2的系数为－120，则该二项展开式中的常数项为(　　)
A．3 204 B．－160 C．160 D．－320
答案　D
解析　6的展开式的通项为Tk＋1＝C·x6－k·k＝C·2k·x6－2k，
2xTk＋1＝C·2k＋1·x7－2k，由k∈N，得7－2k≠2，故不成立，
aTk＋1＝aC·2k·x6－2k，令6－2k＝2，解得k＝2，
则aC·22＝60a＝－120，解得a＝－2，
∵7－2k≠0，在－2Tk＋1 中，令6－2k＝0，解得k＝3，
∴展开式中的常数项为－2C·23＝－320.
思维升华　(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
跟踪训练1　(1)(2022·新高考全国Ⅰ)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
答案　－28
解析　(x＋y)8展开式的通项为Tk＋1＝Cx8－kyk，k＝0,1，…，7,8.令