人教版高中数学2.2 基本不等式（精练）（提升版）（解析版）.docx

2.2 基本不等式（精练）（提升版）
题组一 基本不等式常考形式
1．（2022·全国·高三专题练****设，，且恒成立，则的最大值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】等价于，
故得到则的最大值是4.故选：C.
2．（2022·山东·济南市历城第二中学）已知，则的最小值是（       ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】，
因为，又，所以，则，
当且仅当，即时，取等号，即的最小值是7.故选：C
3．（2022··一模）（多选）已知，且，则下列结论正确的是（       ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】BC
【解析】，且，，
对于A，利用基本不等式得，化简得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故A错误；
对于B，，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；
对于C，，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；
对于D，
利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，
，，故D错误；
故选：BC
4．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练****多选）已知，，且，则（       ）
A．xy的取值范围是 B．的取值范围是
C．的最小值是3 D．的最小值是
【答案】BD
【解析】因为，，所以，所以，
解得，即，则A错误.
因为，，所以，所以，
即，解得，则B正确.
因为，所以，
则，
当且仅当即时等号成立.因为.所以，则C错误.
，
当且仅当即时等号成立，则D正确.故选：BD
5．（2022·山东德州·高三期末）（多选）已知，，，则下列结论正确的是（       ）
A．的最小值为 B．的最小值为16
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】ACD
【解析】由可得，，（当且仅当时，取等号），故A正确；
（当且仅当时，取等号），即，故D正确；
（当且仅当时，取等号），（当且仅当时，取等号），即，故B错误；
，即（当且仅当时，取等号），故C正确；
故选：ACD
6．（2022·上海交大附中高三开学考试）设，，则的最小值是（       ）
A．4 B． C．2 D．1
【答案】C
【解析】因为，，，设，，
所以，当且仅当，即时等号成立．
故选：C．
7．（2022·全国·高三专题练****多选）当，，时，恒成立，则的取值可能是（       ）
A． B． C．1 D．2
【答案】AB
【解析】因为，，所以，当且仅当时，等号成立．
因为．
若恒成立，则，解得．故选：AB.
8．（2022·重庆·高三阶段练****已知，且，则的最小值为__________.
【答案】2
【解析】因为，所以
=2，
当且仅当，即，即时，等号成立.
故答案为：2
9．（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】由题意可知，＝＝＝＋＝（＋）（x＋y）
＝4＋5＋＋≥9＋2＝，
当且仅当＝，时取等号， 此时，
故的最小值为．
故答案为：
题组二
1．（2022·全国·高三阶段练****文））已知函数的一个极值点为1，若，则的最小值为（       ）
A．10 B．9 C．8 D．
【答案】B
【解析】对求导得，
因为函数的一个极值点为1，所以，所以，
因为，所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为9.故选：B.
2．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练****函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数且的图象恒过定点，
所以，即，所以，
又，所以
所以，当且仅当，即时取等号.故选：C.
3．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）已知、，直线，，且，则的最小值为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为、，直线，，且，
所以，即，
所以，所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为，故选：D
4．（2022·江西·模拟预测（理））若圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是（       ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【解析】由题可知圆的圆心为，若圆上存在两点关于对称，则说明直线过圆心，即，即，变形可得
故
当且仅当，即时取得等号，故最小值为4.故选：B
5．（2022·吉