人教版高中数学5.3 平面向量的应用（精练）（基础版）（解析版）.docx

5.3 平面向量的应用（精练）（基础版）
题组一 证线段垂直
1．（2022·全国·高一课前预****在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(       )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【解析】∵
.∴，∴是直角三角形.故选：C.
2．（2022·新疆）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（       ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】，，
则，
，，则△ABC为直角三角形.故选：B.
3．（2021·浙江）在中，若，则的形状为（       ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】取中点，连接，则，
因为，所以，所以，
所以，即，所以的是等腰三角形．故选：B．
4．（2022·黑龙江）如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.
【答案】证明见解析
【解析】∵·＝·＝2－2，而，∴·＝0，∴⊥，即DE⊥AF.
5．（2022·湖南）如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】
因为，所以，即，故.
6．（2022·浙江）如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC.
【答案】证明见解析
【解析】设=，=，=，=，=，
则=+，=+，
所以2﹣2=(+)2-(+)2=2+2e·-2·-2，
由条件知：2=2﹣2+2，
所以·=·，即·(-)=0，
即，
所以AD⊥BC.
7．（2022·浙江）如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量，．
（1）求的值；
（2）用，表示和；
（3）证明：．
【答案】（1）；（2），；（3）证明见解析
【解析】（1）
（2）
又为中点
（3）又
所以
题组二 夹角问题
1．（2022·云南）中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系，
因为，，所以，，，
设，
因为、、三点共线，所以，，，
因为，、、三点共线，所以，
联立，解得，，，
因为，，所以，，
因为，
所以，
故选：A.
2．（2022·江西）已知菱形中，，，点为上一点，且，则的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设与交于点，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系如图所示，则点，，，
∴，，则，
故选：D.
3．（2022·江苏）（多选）已知向量，记向量的夹角为，则（       ）
A．时为锐角 B．时为钝角
C．时为直角 D．时为平角
【答案】ACD
【解析】A. 当时，，所以为锐角，故正确；
B. 当时，，所以为钝角或平角，故错误；
C. 当时，，所以为直角，故正确；
D. 时，，所以为平角，故正确.故选：ACD
4．（2023·全国·高三专题练****已知，，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数入的取值范围是：______．
【答案】
【解析】与夹角为锐角时，；解得；
当时，与分别为与同向，夹角为零，不合题意，舍去；
∴实数的取值范围为.故答案为：.
5．（2022·四川省平昌中学）已知，且的夹角为钝角，则实数的范围_______
【答案】
【解析】由于与的夹角为钝角，则且与不共线，
，，，解得且，
因此，实数的取值范围是且，故答案为：且.
6．（2022·全国·期末）一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知分米，分米，点在正方形的四条边上运动，当取得最大值时， 与夹角的余弦值为___________.
【答案】
【解析】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系：
则，， ，，
设，， ，
当时，， ，当且仅当时等号成立，
当时，， ，当且仅当时等号成立，
当时，， ，当且仅当时等号成立，
当时，， ，当且仅当时等号成立，
由以上可知，当时，取得最大值，此时，，
设与的夹角为，