人教版高中数学7.1 空间几何中的平行与垂直（精讲）（提升版）（解析版）.docx

7.1 空间几何中的平行与垂直（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 平行问题
【例1-1】（2022·广东珠海）如图，在三棱柱中，点是的中点，求证：平面
【答案】证明见解析；
【解析】连接交于，连接，由为三棱柱，则为平行四边形，所以是中点，又是的中点，故在△中，面，面，所以平面.
【例1-2】（2022·河南·商丘市第一高级中学）在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，取的中点，连接，，如图，则且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面；
【例1-3】（2022·云南·弥勒市一中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，且．点在棱上，点为中点，证明：若，则直线平面
【答案】证明见解析
【解析】在上取一点，使得，连接，
，，又平面，平面，
平面；
，，，
，，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面；
，平面，平面平面，
平面，平面.
【例1-4】（2022·辽宁葫芦岛）如图，在四面体中，，，点是的中点，，且直线面，直线直线
【答案】证明见解析
【解析】直线平面，，平面平面，．
【例1-5】（2022·甘肃酒泉）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，分别是线段，的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】如图，取中点，连，，∵为中位线，∴，又平面，平面，∴平面，同理，在梯形中，，又平面，平面，∴平面，且平面，平面，，∴平面平面，又平面，所以平面．
【例1-6】（2022·山西临汾）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：
【答案】证明见解析
【解析】证明：在中，，
所以，，
在中，，，，
由余弦定理得，
所以，所以，
同理可得，在中，，且，
在中，，所以，
因为，，平面，所以平面，
在中，，
在中，，则，
因为，所以平面，
所以；
【一隅三反】
1．（2022·山东滨州）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E是PB的中点，求证：平面EAC
【答案】证明见解析
【解析】证明：连结BD交AC于点O，连接EO.显然，O为BD的中点，又因为E为PB的中点，所以.又因为面EAC，面EAC，所以平面EAC；
2．（2022·辽宁营口）如图，三棱柱中，E为中点，F为中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：取BC中点为D,连接ED,AD, 因为E为中点,故 ,又 ,F为中点,故 ,所以四边形EDAF为平行四边形，故 ,因为平面，平面,故平面；
3（2022·江苏宿迁）如图，三棱柱中，，，点，分别在和上，且满足，，证明：平面
【答案】见解析
【解析】过点作，交于点，连接，
由题意得，
故，，而平面，平面，
平面，同理得平面，
而，平面平面，
平面
4．（2022·全国·高三专题练****如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，，
底面，过的平面交于，交于（与不重合）.求证：；
【答案】证明见解析
【解析】证明：在梯形中，，平面，平面，
平面.
又平面，平面平面，
所以.
5．（2022·江苏省镇江第一中学）如图，三棱柱中M，N，P，D分别为，BC，，的中点，求证：面