人教版高中数学7.3 空间角（精讲）（提升版）（解析版）.docx

7.3 空间角（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 线线角
【例1-1】（2022·全国·高三专题练****如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解法一：设E为BC的中点，连接FE，如图，
∵E是BC的中点，
∴∥，,,;
在中，由余弦定理可知
∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为，
解法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
易知，，，
所以，，
则，
∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为.故选：D
【一隅三反】
1．（2022·新疆·三模（理））在正方体中，E为的中点，平面与平面的交线为l，则l与所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】延长，交直线于点M，延长交于点，连接，
则直线即为交线，
又，则即为l与所成的角，设正方体棱长为1，
因为E为的中点，，
所以为的中点，为的中点，点为的中点，为的中点，则，
又，所以，所以，
则，，，所以，
即l与所成角的余弦值为.故选：D.
2．（2022·四川内江·模拟预测（理））如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接交于，若是的中点，连接，
由为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知：是的中点，
所以，故直线与直线夹角，即为与的夹角或补角，
若，则，，
面，面，则，
而，又，面，故面，
又面，所以.
所以，，
在△中.
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练****在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以点P为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，，，，
则，，
设异面直线PN和BM所成角为，则.故选：B.
考点二 线面角
【例2-1】（2022·黑龙江）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，且.
(1)求证：平面平面；
(2)若，，求直线PB与平面ADP所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，所以，
又因为平面，平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
而平面，所以平面平面.
得证.
(2)如图，以为坐标原点，分别以、、所在的直线为坐标轴正方向建立空间直角坐标系，则点
，，，，则
，，，
设平面的法向量为，则，即，
令可得平面的法向量为，
设直线PB与平面ADP所成角为，则
.
直线PB与平面ADP所成角的正弦值为.
【例2-2】（2022·云南）已知正方体的棱长为1，点P在线段上，且，则AP与平面ABCD所成角的正切值为（       ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，连接，
因为在平面ABCD上的投影为，故作于，且平面，
连接，则AP与平面ABCD所成角为.
因为，故，且，故.
所以AP与平面ABCD所成角的正切值为
故选：D
【例2-3】．（2022·河南安阳）如图，在圆锥中，为圆锥的底面直径，为等腰直角三角形，B为底面圆周上一点，且，M为上一动点，设直线与平面所成的角为，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，过点作于点，连，∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，又∵平面，∴，故为直线与平面所成的角，在中，越小，越大，越大，当时，最小，此时最大，∵为等腰直角三角形，又，在中，,在中，，则,在等腰直角三角形中，，在中，,,则，
故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·河南安阳）如图，在四面体ABCD中，，，E为BD的中点，F为AC上一点.
(1)求证：平面平面BDF；
(2)若，，，求直线BF与平面ACD所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【解析】(1)在四面体ABCD中，，E为BD的中点，则，
而，平面，于是得平面，又平面，所以平面平面.
(2)依题意不妨设，，则，又，则，．
在中，，