人教版高中数学7.4 空间距离（精练）（提升版）（解析版）.docx

7.4 空间距离（精练）（提升版）
题组一 点线距
1.（2022·福建）在空间直角坐标系中，点，则到直线的距离为___．
【答案】
【解析】依题意得，则到直线的距离为故答案为：
2（2022·北京·二模）如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为
【答案】
【解析】如图建立空间直角坐标系，则，
设，则，
∴动点P到直线的距离为
，当时取等号，
即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.
3．（2022·广东）如图，在棱长为4的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，点Р到直线的距离的最小值为_______.
【答案】
【解析】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
因点P在线段上，则，，
，向量在向量上投影长为，
而，则点Р到直线的距离
，当且仅当时取“=”，
所以点Р到直线的距离的最小值为.
故答案为：
题组二 点面距
1．（2022·江苏）将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则点到平面的距离为___．
【答案】
【解析】记AC与BD的交点为O，图1中，由正方形性质可知，
所以在图2中，，所以，即
如图建立空间直角坐标系，易知
则
则
设为平面ABC的法向量，
则，取，得
所以点到平面的距离
故答案为：
2．（2022·福建福州）如图，在正四棱柱中，已知，，E，F分别为，上的点，且．
(1)求证：平面ACF：
(2)求点B到平面ACF的距离．
【答案】(1)证明见详解.(2).
【解析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则,设面的一个法向量为，，可得，即，不妨令则,平面.
（2），则点到平面的距离为.
3．（2022·河北邯郸）在直三棱柱中，，分别是，的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，，，求点到平面的距离.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】（1）连结交于点，连结，因为点分别是的中点，所以，且，所以，即四边形是平行四边形，所以，且平面，平面，所以平面；
（2）因为，则,,，所以，所以，,因为，且，，所以平面，因为，所以点到平面的距离为1，，根据等体积转化可知，即，解得：，所以点到平面的距离为.
4．（2022·四川成都）在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面PAB，点E，F分别在线段
CB，AP上，且，．
(1)求证：平面PCD；
(2)若，，求点D到平面EFP的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：如图，取的中点，连接，．
在中，点，分别为，的中点，
∴且．
在矩形中，点为的中点，
∴且，∴且．
∴.四边形是平行四边形，
∴．
又∵平面，平面，
∴平面．
(2)解：∵四边形是矩形，
∴．
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，∴，
∵，，，平面.
∴平面，即就是点到平面的距离．
∵，平面，平面，所以平面，
∴点到平面的距离等于点到平面的距离．
又∵，
∴．
同理可证平面，即，
且，， 平面，
∴平面.
∴，即．
∴，       
∴点到平面的距离为．
5．（2022·云南保山）如图，在四棱锥，四边形正方形，平面．，，点是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：连接交于点，连接，
底面为正方形，为中点，
点是的中点，，
平面，平面，
平面．
(2)解：因为平面，平面，所以，又四边形为正方形，
所以，又，平面，
所以平面，平面，所以，
又点是的中点，，，所以，，
，，
所以，
设点到平面的距离为，则，即，
即，解得，
即点到平面的距离为.
题组三 线线距
1．（2022·全国·课时练****如图，多面体是由长方体一分为二得到的，，，，点D是中点，则异面直线与的距离是______．
【答案】
【解析】以为坐标原点，分别以，,为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则,,,,
∴,,
设是，的公垂线方向上的单位向量，
则，即①，
，即②，
易知③，
联立解得，，或，，；
不妨取，
又∵,
则异面直线与的距离，
故答案为：.