人教版高中数学7.5 空间向量求空间角（精练）（基础版）（解析版）.docx

7.5 空间向量求空间角（精练）（基础版）
题组一 线线角
1．（2022·辽宁丹东·模拟预测）在三棱锥中，平面ABC，，是正三角形，M，N分别是AB，PC的中点，则直线MN，PB所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，以AC的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系，设
则
，则直线MN，PB所成角的余弦值为
故选：D．
2．（2022·贵州毕节·三模（理））在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点P是底面ABCD内一动点，且，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，连接交于点，连接，
因为四棱锥为正四棱锥，可得底面，
由底面边长为，可得，所以，
在直角中，，可得，
又由，在直角中，可得，
即点在以为圆心，以为半径的圆上，
所以当圆与的交点时，此时两点间距离最小，最小值为，
以分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，
则，可得，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
故选：A.
3．（2022·青海·模拟预测（理））手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．
【答案】
【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，
因为，，
所以可得，
所以，
所以，
所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是.
故答案为：.
4．（2023·全国·高三专题练****如图所示，是棱长为的正方体，、分别是下底面的棱
、的中点，是上底面的棱上的一点，，过、、的平面交上底面于，在上，则异面直线与所成角的余弦值为___________．
【答案】
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，，
设点，，，
因为，所以，，即点，
，，
所以，.
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
题组二 线面角
1．（2022·上海市七宝中学高三阶段练****如图所示，在长方体中，，，是棱上的点，且．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由，．
(2)以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，则，
，．   
设平面的一个法向量为，则
，，
即，
令，则
设直线与平面所成角的为，则
，
所以设直线与平面所成角的正弦值为
2．（2022·全国·高三专题练****如图，在三棱柱中，底面，的中点为，四面体的体积为，四边形的面积为.
(1)求到平面的距离；
(2)设与交于点O，是以为直角的等腰直角三角形且.求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：因为为的中点，，所以，
设到平面的距离为h，则到平面的距离为，
因为，
即，
即，得，即到平面的距离.
(2)因为是以为直角的等腰直角三角形，由（1）知，所以，
如图，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
则点，，，，.
则，，.
设平面的法向量为，
则由解得.
令，则，于是平面的一个法向量为.
所以直线与平面所成角的正弦值为
.
故直线与平面所成角的正弦值为.
3．（2022·全国·高三专题练****如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，＝＝．
(1)证明：；
(2)点在棱上，且＝，求直线与平面的夹角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：取的中点，连，，
∵为等边三角形，且是边的中点，
∴，
∵平面底面，且它们的交线为，
∴平面，则，
∵，且
∴平面，
∴；
(2)由（1）知，面，
，
故以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
易求
各点坐标如下，
则
设平面的一个法向量为
则
令，得平面的一个法向量为
4．（2023·全国·高三专题练****理））如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；