人教版高中数学7.5 外接球（精讲）（提升版）（解析版）.docx

7.5 外接球（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 汉堡模型
【例1】（2022·陕西）已知底面边长为1，侧棱长为则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（      ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，正四棱柱的体对角线即为外接球的直径，故，
解得，故球的体积为：.故选：D.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练****已知在三棱锥中，，，，平面，则三棱锥的外接球的表面积是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
在中，由余弦定理得：，
，
外接圆半径，又平面，
三棱锥的外接球半径，
则三棱锥的外接球的表面积.
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练****已知在三棱锥中，平面，，则三棱锥外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因平面，平面，则，而，
则，三棱锥的外接球截平面所得小圆圆心是正的中心，，
连，则平面，取线段的中点，则球的球心在过E垂直于直线的垂面上，连，如图，则四边形是矩形，，因此，球的半径有：，
所以三棱锥外接球的表面积.故选：C
3．（2023·山西大同·高三阶段练****球内接直三棱柱，则球表面积为___________.
【答案】
【解析】设三角形ABC和三角形的外心分别为D，E．可知其外接球的球心O是线段DE的中点，连结OC，CD，设外接球的半径为R，三角形ABC的外接圆的半径r，可得，由正弦定理得，，
而在三角形OCD中，可知，
即，因此三棱柱外接球的表面积为．
故答案为：
考点二 墙角模型
【例2】（2022·全国·高三专题练****长方体的长，宽，高分别为3，，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】球O的半径为，∴体积．故选：A
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练****已知四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为，则四棱锥P-ABCD的体积为（       ）
A．3 B．2 C． D．1
【答案】D
【解析】设四棱锥P-ABCD外接球的半径为R，则，即．
由题意，易知，得，
设，得，解得，
所以四棱锥P-ABCD的体积为．
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练****已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图所示，将三棱锥放在长、宽、高分别为，，的长方体中，
则三棱锥的外接球即为该长方本的外接球，
所以外接球的直径，
∴该球的体积为.故选：B
3．（2022·海原县）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为___________.
【答案】
【解析】平面，平面，，，
又，，，
，，则可将三棱锥放入如下图所示的长方体中，
则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
球的半径，
球的表面积.故答案为：.
考点三 斗笠模型
【例3】（2023·全国·高三专题练****已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上是边长为的正三角形，则球的表面积等于（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，是边长为的正三角形，如图所示：
取BC的中点D，点H为底面的中心，所以
设外接球的半径为R，所以，
利用勾股定理可得，解得
则球的表面积为
故选：B.
【一隅三反】
1（2022·全国·高三专题练****已知圆台的母线长为2，母线与轴的夹角为60°，且上、下底面的面积之比为1：4，则该圆台外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
圆台上、下底面的面积之比为1：4，则半径比为1：2，设圆台上、下底面半径为，因母线与轴的夹角为60°，可得圆台高为1，则；
设圆台外接球的半径为，球心到下底面的距离为，易得圆台两底面在球心同侧，则，且，解得，则该圆台外接球的表面积为.故选：C.
2．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正三棱锥体积的最大值为___________.
【答案】
【解析】因为，所以正三棱锥外接球半径，
正三棱锥如图所示，设