人教版高中数学7.5 外接球（精练）（提升版）（解析版）.docx

7.5 外接球（精练）（提升版）
题组一 汉堡模型
1．（2022·全国·高三专题练****在四棱锥中，已知底面ABCD为矩形，底面ABCD，，，，则四棱锥的外接球O的表面积是（       ）
A．80π B．160π C．60π D．40π
【答案】D
【解析】由题意底面矩形的外接圆半径，则原四棱锥外接球半径，故选：D
2．（2022·全国·高三专题练****在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得三棱柱的上下底面为直角三角形，取直角三角形斜边的中点，
直三棱柱的外接球的球心O为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接AO，,设外接球的半径为R，下底面外接圆的半径为r，r=，则，该直三棱柱外接球的表面积为,故选：C
3．（2022·全国·高三专题练****已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（
       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，为棱的中点，为正△的中心，为外接球的球心
根据直棱柱外接球的性质可知∥，，外接球半径，
∵正△的边长为6，则
∴
外接球的表面积
故选：C．
4．（2022·全国·高三专题练****据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，将三棱锥补形为正方体，
则外接球半径.
所以三棱锥外接球表面积.
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练****已知三棱锥中，底面BCD是边长为的正三角形，底面BCD，且，则该几何体的外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意知：底面BCD是正三角形，底面BCD，将三棱锥补成如图所示正三棱柱，取上下底面的外心，
易得球心即为中点，连接，易得，，
设外接球半径为，则，则.
故选：C．
6．（2023·全国·高三专题练****已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面ABC，AB⊥BC，，，则球O的表面积等于（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为、、、是球表面上的点，
所以
又平面，平面，
所以，，，
因为，平面，，
所以平面，而平面，
所以，
所以可得为的中点，，，
所以，
所以球的半径径为，
所以球表面积为．
故选：A．
7．（2022·河北衡水·高三阶段练****在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以.又，，所以平面SAC.在中，，，所以.又，则外接圆的半径为，取BC，AC的中点D，E，的外心为F，过D作平面ABC的垂线l，过F作平面SAC的垂线交l于点O，即为球心，连接DE，EF，FA，OA，则四边形DEFO为矩形，则，，所以，即三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的体积为.
故选：D
题组二 墙角模型
1．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵中，，，，则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的体积与阳马的体积比为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题知：剩余的几何体为三棱锥，平面，．
将三棱锥放入长方体，长方体的外接球为三棱锥的外接球，如图所示：
外接球半径，所以外接球体积，
阳马—的体积为．．
故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练****如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点．若四棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】由题意知：四边形的面积，
设点到平面的距离为，则，解得：，
又为中点，平面，；
，两两互相垂直，
三棱锥的外接球半径，
三棱锥的外接球表面积.
故答案为：.
3（2022·四川雅安·三模（文））在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是___________.
【答案】
【解析】因为，，则，，
同理可证，，所以，、、两两垂直，
将三棱锥补成正方体，如下图所示：
正方体的体对角线即为三棱锥的外接球直径，
设三棱锥的外接球半径为，则，所以，，
因此，三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：.