人教版高中数学7.6 空间向量求空间距离（精练）（基础版）（解析版）.docx

7.6 空间向量求空间距离（精练）（基础版）
题组一 点线距
1．（2022·湖南益阳）在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（       ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知，得，，，
，，
所以在上的投影为，
所以点到直线的距离为故选：B
2．（2022·山东）点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是______．
【答案】
【解析】由题意，点和，可得，且，
所以点到直线的距离是.
故答案为：.
3．（2022云南）如图，已知三棱柱的棱长均为2，，．
(1)证明：平面平面ABC；
(2)设M为侧棱上的点，若平面与平面ABC夹角的余弦值为，求点M到直线距离．
【答案】(1)见解析(2)
【解析】(1)取AC的中点O，连接，，，所以由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以，
由，，所以所以平面ABC；
平面,所以平面平面ABC；
(2)以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴，以所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
所以
设可得，
设平面的法向量为则
即取
所以因为为平面ABC的一个法向量，
设平面与平面ABC夹角为，
解得，所以
所以点M到直线距离
题组二 点面距
1．（2022·新疆）如图所示，在四棱锥中，平面，，在四边形中，，，，点在上，，与平面成的角．
(1)求证：平面；
(2)点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】（1）以点为空间直角坐标系的坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建如图所示的空间直角坐标系，证明：∵平面，∴为与平面成的角，∴．∵，∴，，∴，，，，．∴，，．设平面的法向量为，由，即，可得，，∴．又，∴，又不在平面内，∴平面．
（2）取的中点，如图所示，则，，，∴．又，∴，即，又，平面，平面，∴平面，∴ 是平面的法向量，平面的单位法向量为，又，∴点到平面的距离为
2．（2022·重庆一中）已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，平面ABCD，求证：
(1)平面SAC；
(2)若，求点C到平面SBD的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：平面ABCD，平面ABCD，，又四边形ABCD为正方形，，又，平面；
（2）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，因为，所以两两垂直，所以以A为坐标原点，AB､AD､AS分别为x､y､z轴建立空间直角坐标系则，所以，，设平面BDS的法向量为，则，令，则所以点C到平面SBD的距离
3．（2022·上海）如图，是矩形，平面，，，、分别是、的中点，求点到平面的距离.
【答案】
【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，则、 、、、，
、分别是、的中点，，
设为平面的一个法向量，，，
即且，
令，得，
在上的射影长，即点到平面的距离.
4．（2022·北京）已知，分别是正方形边，的中点，交于，垂直于所在平面．
(1)求证：平面．
(2)若，，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：如图所示，连接交于，因为是正方形边，的中点，，所以，又因为垂直于所在平面，平面，所以，因为且平面，所以平面．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，则，，，，可得，，设平面的法向量，则，令时，可得，所以又因为向量，则点到面的距离.
5．（2023·全国·高三专题练****在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，平面
，，且，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)求证见解析(2)(3)
【解析】（1）证明：因为平面，平面，所以，因为，所以两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为面是边长为2的正方形，，且，为的中点，所以，，，，，，，所以，因为平面的法向量可以为，所以，即，又平面，所以平面；
（2）解：因为，，设平面的法向量为，则，令
，则，所以，因为平面，，所以平面，因为平面，所以，因为，所以平面，所以平面的法向量可以为，设二面角为，由图可知二面角为钝角，则，所以二面角的余弦值为；
（3）解：由（2）知平面的法向量为，又，设点到平面的距离为，则所以点到平面的距离；
6．（2022·湖南·周南中学）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了