人教版高中数学9.5 构造函数常见的方法（精练）（基础版）（解析版）.docx

9.5 构造函数常见的方法（精练）（基础版）
题组一 直接型
1．（2023·全国·高三专题练****已知是函数的导数，且，当时，，则不等式的解集是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则，
因为当时，，所以当时，，
即在上单调递增，
因为，所以为偶函数，则也是偶函数,所以在上单调递减.
因为,所以,
即,
则，解得，
故选：D.
2．（2022·全国·高二单元测试）已知定义在上的函数满足，且的导函数在上恒有，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为可化为，
令，则，
因为，
所以，所以在上单调递减，
因为，所以，
所以，所以，即不等式的解集为．故选：A．
3．（2022·江苏·南京市中华中学高三阶段练****设函数在上存在导数，对于任意的实数x，有，当时，，若，则实数m的取值范围是（        ）
A．[1，2） B．
C．[，2） D．
【答案】B
【解析】因为，所以，令，
所以，
因为，所以，所以为奇函数；
，当时，单调递减，因此在R上单调递减；
当，即时，；则：
所以：，
即，所以，
由于递减，所以，解之得；所以AC错误；
当，即时，，
同理可得：，
所以，解之得：；
综上，，
故选：B
4．（2022·辽宁·沈阳二中 ）（多选）已知函数的定义域为，且，，则下列结论中正确的有（    ）
A．为增函数 B．为增函数
C．的解集为 D．的解集为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，所以为增函数，故A正确；
对于B，由，，所以为增函数，故B正确；
对于C，，则等价于，又为增函数，
所以，解得，所以的解集为，故C错误；
对于D，等价于，
即，又为增函数，
所以，解得，所以的解集为，故D正确；
故选：ABD.
5．（2022·黑龙江）已知是定义在上的奇函数，当时，且，则不等式的解集是______．
【答案】
【解析】设，则
因为是定义在上的奇函数，
所以，
所以是上的偶函数，
当时，，所以在上单调递增，
所以在上单调递减．因为，所以，
所以．
对于不等式，
当时，，即，解得；
当时，，即，解得，
所以不等式的解集是．
故答案为：
题组二 加乘型
1．（2022·山东）已知奇函数是定义在R上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，则，
因为当时，有，
所以当时，，
所以在上为增函数，
因为为奇函数，所以，
所以，
所以为R上的奇函数，
所以在R上为增函数，
由，得
，
，
所以，
因为为奇函数，所以，
所以，得，
所以不等式的解集为，故选：C
2．（2022·山西太原·高三阶段练****定义在 上的函数 满足，则不等式 的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，
则，由于,
故,故在单调递增，
而 ，
由，得 ，
∴ ，即 ,
∴不等式的解集为,
故选：D．
3．（2022·陕西渭南）已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论一定正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】构造函数,则,因为,故,因此可得在上单调递减，由于，故，
故选：A
4．（2022·广东·高三阶段练****多选）已知定义在上的函数满足，则下列不等式一定正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由，得，
设，则,
设，则在上为增函数,且，
则当时，，此时，此时函数为增函数；
当时，，此时，此时函数为减函数，
故由，即，A正确；
由，得，即，B错误；
与不在一个单调区间上，C中算式无法比较大小，C错误；
由，得，即，D正确．
故选：AD
5．（2022·重庆·高三阶段练****多选）已知函数是定义在上的函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是（    ）
A．函数在定义域上单调递增
B．函数在定义域上有极小值
C．函数的单调递增区间为
D．不等式的解集为
【答案】AC
【解析】令，则，
因为，可得，
又由，可得，
令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
即，所以单调递增，所以A正确，B不正确；
由函数，可得，
令，即，解得，
所以函数的单调递增区间为，所以C正确；
设，则，则
因为，所以，
所以，
令，
则