人教版高中数学大题保分练3.docx

大题保分练3
1．(2022·邯郸模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求B；
(2)若a＝2，c＝1，________，求BD.
在①D为AC的中点；②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解　(1)在△ABC中，由正弦定理得，
sin Bsin A＝sin A－sin Acos B.
因为sin A≠0，
所以sin B＝1－cos B，
所以sin B＋cos B＝2sin＝1，
即sin＝.
又B∈(0，π)，则B＋＝，所以B＝.
(2)选择条件①：因为＝，
所以||2＝(||2＋2·＋||2)
＝×＝，
所以||＝，即BD＝.
选择条件②：
因为BD为∠ABC的角平分线，
所以S△ABD＋S△CBD＝S△ABC，
则c×Bdsin ＋a×Bdsin 
＝a×csin ，
即×1×Bdsin ＋×2×Bdsin 
＝×2×1×sin ，
解得BD＝.
2．(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
并计算得x＝0.038，y＝1.615 8，xiyi＝0.247 4.
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：样本相关系数r＝，≈1.377.
解　(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值＝＝0.06(m2)，
样本中10棵这种树木的材积量的平均值
＝＝0.39(m3)，据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m2，平均一棵的材积量为0.39 m3.
(2)r＝
＝
＝
＝≈≈0.97.
(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得＝，解得Y＝1 209.
则该林区这种树木的总材积量估计为1 209 m3.
3.(2022·衡水中学模拟)如图所示的多面体是由三棱锥A－BDE与四棱锥D－BCFE组合而成的，其中EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是边BC的中点．
(1)求证：BD⊥EG；
(2)求平面DEG与平面AEFD夹角的余弦值．
(1)证明　依题意，EF⊥平面AE