人教版高中数学大题保分练4.docx

大题保分练4
1．(2022·洛阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且4an＝3Sn＋2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)∵4an＝3Sn＋2，①
∴当n＝1时，4a1＝3a1＋2，即a1＝2，
当n≥2时，4an－1＝3Sn－1＋2.②
由①－②得4an－4an－1＝3an，即an＝4an－1，
∴数列{an}是以2为首项，4为公比的等比数列．
∴an＝2×4n－1.
(2)由(1)知log2an＝log2(2×4n－1)＝log222n－1＝2n－1，
∴bn＝an＋log2an＝2×4n－1＋2n－1，
∴Tn＝＋＝＋n2.
2．(2022·湖北新高考协作体联考)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝135°，BD＝
CD＝.
(1)求sin∠CBD的值；
(2)若△ABD的面积为4，求AD的长．
解　(1)在△BCD中，由正弦定理知，
＝，
所以BD·sin∠CBD＝CD·sin∠BCD，
因为∠BCD＝135°，BD＝CD＝，
所以sin∠CBD＝.
(2)在△BCD中，∠BCD＝135°，则∠CBD为锐角，
因为sin∠CBD＝，
所以cos∠CBD＝，
在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝135°，
则∠CBA＝45°，
所以sin∠ABD＝sin＝，
显然∠ABD为锐角，
所以cos∠ABD＝，
因为S△ABD＝AB·BD·sin∠ABD＝4，
所以AB＝4，所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABD＝10，
所以AD＝.
3.(2022·南通模拟)如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AA1＝AB＝BC＝4，∠A1AB＝60°，cos∠BCC1＝，M，N分别是棱B1C1，A1B1的中点．
(1)证明：BN⊥平面A1B1C1；
(2)求直线AM与平面BB1C1C所成角的正弦值．
(1)证明　如图，连接MN，A1B，BC1，∵四边形ABB1A1为平行四边形，
又∠A1AB＝60°，AA1＝AB＝4，
∴△A1AB为等边三角形，则△A1B1B为等边三角形，
∵N为A1B1的中点，
∴BN⊥A1B1，BN＝2，
∵底面ABC是等腰直角三角形， AB＝BC＝4，
∴AC＝2，A1C1＝AC＝2，
∵M，N分别是棱B1C1，A1B1的中点，
∴MN＝A1C1＝，
∵CC1＝4，BC＝2，cos∠BCC1＝，
∴BC1＝
＝＝4，
∴△BCC1为等腰三角形，则△B1BC1为等腰三角形，
又M是棱B1C1的中点，
∴BM＝＝，
∴BM2＝BN2＋MN2，∴BN⊥MN，
又A1B1，MN⊂平面A1B1C1，A1B1∩MN＝N，
∴BN⊥平面A1B1C1.
(2)解　取AB的中点O，连接A1O，则A1O∥BN，
由(1)知A1O⊥平面ABC，CO⊥AB，
如图，以点O为原点，OC，OB，OA1所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(0，－2,0)，B(0,2,0)，C(2,0,0)，
B1(0,4,2)，C1(2,2,2)，M(1,3,2