人教版高中数学第01讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 (精练）（教师版）.docx

第01讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 (精练）
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·广西玉林·高一期末）若一个圆锥的轴截面是边长为3的正三角形，则这个圆锥的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题可知，该圆锥的底面半径为，因此，该圆锥表面积为
故选：A
2．（2022·广东梅州·高一期末）如图，是水平放置的△AOB的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且△AOB的面积为12，则的长度为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
画出△AOB的原图为直角三角形，且，
因为，所以，
所以.
故选：B.
3．（2022·广东茂名·高二期末）储粮所用“钢板仓”，可以看成由圆锥和圆柱两部分组成的.现有一种“钢板仓”，其中圆锥与圆柱的高分别是1m和3m，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，若要储存300的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数是（       ）
A．6 B．9 C．10 D．11
【答案】C
因为圆锥的高为1，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，
所以圆锥的母线长为2，底面半径为，
所以一个“钢板仓”的体积为
，
因为
所以要储存300的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数为10个，
故选：C
4．（2022·辽宁锦州·高一期末）正三棱锥的高为，斜高为，则该三棱锥的侧棱长为（       ）
A． B． C． D．4
【答案】D
依题意作上图，其中E是BC的中点，D是正三角形ABC的中心，
并且 平面ABC， ，
则有 ，在 中，
，
在 中， ；
故选：D.
5．（2022·上海·复旦附中高二期末）小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭成一个直六棱柱，由于木棍和木板之间没有固定好，第二天他发现这个直六棱柱变成了斜六棱柱，如图所示.设直棱柱的体积和侧面积分别为和，斜棱柱的体积和侧面积分别为和，则（       ）.
A． B． C． D．与的大小关系无法确定
【答案】A
设底面面积为S，底面周长为C，
则，，所以，
设斜棱柱的高为，则，
,
所以.
故选：A
6．（2022·湖南常德·高一期末）轴截面为正三角形的圆锥称为等边圆锥，已知一等边圆锥的母线长为，则该圆锥的内切球体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
轴截面如图所示，设内切球的半径为，则，
由题意可得，，
在中，，
所以，即，
所以内切球体积为，
故选：D
7．（2022·河南驻马店·高一期末）已知平面四边形ABCD，连接对角线BD，得到等边三角形ABD和直角三角形BCD，且，，，将平面四边形ABCD沿对角线BD翻折，得到四面体，则当四面体的体积最大时，该四面体的外接球的表面积为（       ）
A．12π B．18π C．21π D．28π
【答案】C
因为底面为正三角形，所以底面面积为定值，
所以当平面时，四面体ABCD的体积最大.
设外接圆圆心为,则四面体ABCD的外接球的球心满足,且，三角形的外接圆半径为，
因此外接球的半径满足
从而外接球的表面积为.
故选：C.
8．（2022·重庆市第七中学校高一期末）如图所示，在平面四边形中，，，，．现将沿折起，并连接，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为的面积不变，要使体积最大，需
D到平面ABC的距离最大，
即当平面ACD平面ABC时，体积最大，
因为等腰直角三角形，取AC中点E,则DE平面ABC，高为DE=最大，AC=，则中，，BC=，AB=，所以EB=，故中BD=，所以中，即得空间中
即AB为球的直径，故半径，所以外接球的表面积.
故选:D.
二、多选题
9．（2022·重庆八中高一期末）某工厂生产出一种机械零件，如图所示零件的几何结构为圆台，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝4cm，CD＝2AB，则下列说法正确的有（       ）
A．该圆台的高为
B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的体积为
D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为10cm
【答案】BCD
如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误；
圆台的轴截面面积为，B正确；
圆台的体积为，C正确；
将圆台一半侧面展开，如图中，设为中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为8cm，底面半径为4cm，侧面展开图的圆心角为