人教版高中数学第01讲 平面向量的概念及其线性运算 (精讲）（教师版）.docx

第01讲 平面向量的概念及其线性运算
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：平面向量的概念
角度1：平面向量的概念与表示
角度2：模
角度3：零向量与单位向量
角度4：相等向量
高频考点二：向量的线性运算
角度1：平面向量的加法与减法
角度2：平面向量的数乘
高频考点三：共线向量定理的应用
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)
向量表示方法：向量或；模或.
（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.
（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示.
特别的：非零向量的单位向量是.
（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为；
特别的：与任一向量平行或共线.
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.
2、向量的线性运算
2.1向量的加法
①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.
②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）
已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
2.2向量的减法
①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.
②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）
已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示
如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
2.3向量的数乘
向量数乘的定义:
一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：
①
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.
3、共线向量定理
①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.
②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
4、常用结论
4.1向量三角不等式
①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；
②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；
记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；
4.2中点公式的向量形式：
若为线段的中点，为平面内任意一点，则.
4.3三点共线等价形式：
（，为实数），若，，三点共线
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2022·全国·高一课前预****判断下列结论是否正确.
（1）若与都是单位向量，则；( )
（2）方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量；( )
（3）直角坐标平面上的轴，轴都是向量；( )
（4）若与是平行向量，则；( )
（5）若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合；( )
（6）海拔、温度、角度都不是向量.( )
【答案】     错误 正确     错误     错误     正确 正确
【详解】
（1）若与都是单位向量，而单位向量方向不一定相同，故不能得到；
（2）方向为南偏西的向量与北偏东的向量是方向相反的向量，因而是共线向量；
（3）轴与轴有方向但是没有长度，因而轴，轴都不是向量；
（4）若与是平行向量，则与方向相同或相反，模不一定相等；而相等向量必须长度相等，方向相同，故不能得到；
（5）若用有向线段表示的向量与不相等，则终点一定不相同，即点M与N不重合；
（6）海拔，温度，角度都是数量，只有大小没有方向，不是向量.
2．（2022·全国·高一专题练****若与都是单位向量，则.( )
【答案】错误
【详解】
因与都是单位向量，则与长度相等，而它们的方向不确定，即与不一定相等，
所以命题：“若与都是单位向量，则.”不正确.
故答案为：