人教版高中数学第1讲 集合与常用逻辑用语讲义（解析版）-2023年高考一轮复习精讲精练宝典.docx

集合与常用逻辑用语
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及记法
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N*或N＋
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
(1)子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A).
(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集.记作AB(或BA).
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
5.全称量词与存在量词
(1)全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“∀”表示.
(2)存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“∃”表示.
6.全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中的任意一个x，有q(x)成立
存在M中的一个x，使p(x)成立
简记
∀x∈M，q(x)
∃x∈M，p(x)
否定
∃x∈M，非q(x)
∀x∈M，非p(x)
7.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇒ p
p是q的必要不充分条件
p⇒q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇒q且q⇒p
考点和典型例题
集合的性质
【例题1-1】（2022·北京密云·高三期中）已知集合P={x|0<x<4,x∈Z}，且M⊆P，则M可以是（       ）
A．{1,2} B．{2,4} C．{0,2} D．{3,4}
【详解】
因为P={x|0<x<4,x∈Z}={1,2,3}，又M⊆P，所以任取x∈M，则x∈{1,2,3}，
所以M可能为{2,3}，A对，
又 0∉M，4∉M，
∴   M不可能为{2,4}，{0,2}，{3,4}，B，C，D错，
故选：A.
【例题1-2】（2022·山东聊城·二模）已知集合A=0,1,2，B=aba∈A,b∈A，则集合B中元素个数为（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【详解】
解：因为A=0,1,2，a∈A,b∈A，所以ab=0或ab=1或ab=2或ab=4，
故B=aba∈A,b∈A=0,1,2,4，即集合B中含有4个元素；
故选：C
【例题1-3】（2022·海南海口·模拟预测）已知集合M=−2,0,1，N=xx2+ax−2=0，若N⊆M，则实数a＝（       ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【详解】
对于集合N，因为Δ=a2+8>0，
所以N中有两个元素，且乘积为-2，
又因为N⊆M，所以N=−2,1，
所以−a=−2+1=−1．即a＝1．
故选：B.
【例题1-4】（2022·湖南·雅礼中学二模）已知集合A={∅,∅}，下列选项中均为A的元素的是（       ）
（1）∅（2）∅（3）∅（4）∅,∅
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
【详解】
集合A有两个元素：∅和∅，
故选：B
集合的运算
【例题2-1】（2022·广东韶关·二模）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，则 ∁UA∪B=（     ）
A．{4，5} B．{1，2}
C．{2，3} D．{1，2，3，4}
【详解】
A∪B=1,2,3，则∁UA∪B=4,5，
故选：A．
【例题2-2】（2022·重庆巴蜀中学高