人教版高中数学第1讲 三角函数的图象与性质（解析版）.docx

第1讲 三角函数的图象与性质
高考预测一：根据解析式研究三角函数的性质
类型一 化为形式
1．已知向量，，，向量，设函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在，上的最大值与最小值；
（3）若，且，；求的值域．
【解析】解：向量，，，向量，
函数；
（1）；
（2），，；
，；
当即时，取最小值：；
当即时，取最大值：．
（3）令，由（2）可得，；
所以问题转化为求在，上的值域；
又因为时，取最小值；
时，．
即的值域为：，．
2．已知函数．
（1）求的值；
（2）求的最小正周期及单调递增区间．
【解析】解：（1），
则．
（2）的最小正周期为．
令，，得，．
故函数的单调递增区间为，．
3．已知函数．
（1）求的定义域与最小正周期及对称轴；
（2）求函数在上的值域；
（3）讨论在区间上的单调性．
【解析】解：（1），
，即函数的定义域为，
则
，
则函数的周期，对称轴为；
（2），
当，时，，，
，，
函数的值域为；
（3）由，
得，
即函数的增区间为，
当时，增区间为，
，此时，
由，
得，
即函数的减区间为，
当时，减区间为，
，此时，
即在区间上，函数的减区间为，增区间为．
4．已知函数．
（1）求的值；
（2）求的最大值和最小值，并求当取何值时，取得最大值．
【解析】解：（1）
（2）
，
当时，的最大值是6；
当时，函数取得最小值是．
且当即时，取得最大值．
类型二：二次函数型
5．设函数．
（1）当时，用表示的最大值（a）；
（2）当（a）时，求的值，并对此值求的最小值．
【解析】解：（1）
当时，．
当时，即时，在取最大值，（a）
当时，即时，在取最大值，（a）
当时，即时，在取最大值，（a）
综上所述（a）
（2）（a）时，由（1）解得或
当时，，当时，．
当时，，当时，．
6．已知函数．
（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；
（2）若关于的方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）由，
，
函数的最小正周期为，
由，得：，，
故函数的对称轴方程为：，，
（2）由得，
当，时，，，
由图象得，
函数的最大值为，
要使方程在，上有两个不同的解，
则在，上有两个不同的解，
即函数和在，上有两个不同的交点，
即，
即．
高考预测二：利用图象和性质求解析式
类型一：图象型
7．已知函数，，的一段图象如图所示，
（1）求振幅和周期；
（2）求函数的解析式；
（3）求这个函数的单调递增区间．
【解析】解：由图象可知：振幅，
周期，
（2）由图象可知：，，
函数，
又点，在图象上，
，
，
所求函数解析式为：．
（3）由，．
可得：，
函数的单调递增区间为，，．
8．已知函数的图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，设，求函数在，上的最大值．
【解析】解：（1）由题意可得，最小正周期，则，
由，
又，
可得，
所以．
（2）由题意可知，
所以，
由于，，可得：，，
可得：．
9．已知函数（其中，，，的部分图象如图所示．
（1）求，，的值；
（2）已知在函数图象上的三点，，的横坐标分别为，1，3，求的值．
【解析】解：（1）由图知，．（1分）
的最小正周期，所以由，得．（4分）
又且，所以，，解得．（7分）
（2）因为，（1），（3），
所以，，，设，（9分）
在等腰三角形中，设，则．（11分）
所以．（13分）
类型二：性质型
10．设，其中．
（1）当时，求函数的值域；
（2）若在区间，上为增函数，求的最大值．
【解析】解：（1），其中．
化简可得：
当时，函数
根据三角函数的图象和性质可得：的值域的值域为，．
（2）由（1）可得
解得：，
故得函数的增区间为：，．
在区间，上为增函数，
故：且，
解得：且，
．
当时，满足题意，此时．
故得的最大值为．
11．设函数，且图象的一个对称中心到离它最近的对称轴的距离为．
（1）求的值；
（2）求在区间，上的最大值和最小值，并求取得最大值与最小值时相应的的值．
【解析】解：（1）
（2分）
，（4分）
因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，可得周