人教版高中数学第1讲 直线与圆综合问题(解析版）.docx

第1讲　直线与圆综合问题
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：直线倾斜角与斜率
突破二：两条直线平行与垂直
突破三：直线方程
突破四：距离问题
突破五：圆的方程
突破六：与圆上点有关的距离最值问题
突破七：圆的切线问题
突破八：两圆的公共弦问题
突破九：圆的弦长问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、直线斜率的坐标公式
如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：
（1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；
（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；
（3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。
2、两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
或，斜率都不存在.
3、两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
4、直线方程
①直线过点和斜率（已知一点+斜率）：
②直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距）：
③直线在轴上的截距为，在轴上的截距为：
④直线的一般式方程：
5、直线系方程
（1）平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.
（2）垂直直线系方程
一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.
6、点到直线的距离
平面上任意一点到直线：的距离.
7、对称问题
（1）点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)
求点关于点的对称点
由：
（2）点关于直线对称问题（联立两个方程）
求点关于直线：的对称点
①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中；
②
整理得：
（3）直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则）
方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解；
方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数.
方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上.
（4）直线关于直线对称问题
4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线
①求出与的交点
②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点
③根据，两点求出直线
4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线
①
②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线.
8、圆的标准方程
我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.
9、圆上的点到定点的最大、最小距离
设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;
①若点在外，则;
②若点在上，则;
③若点在内，则;
10、圆的一般方程
对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.
①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；
②当时，方程表示一个点
③当时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.
11、直线与圆相交
记直线被圆截得的弦长为的常用方法
（1）几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
（2）代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
弦长公式：
12、圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
13、圆与圆的公共弦
（1）圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
（2）公共弦所在直线的方程
设:
:
联立作差得到：即为两圆共线方程
（3）公共弦长的求法
代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
第二部分：重难点题型突破
突破一：直线倾斜角与斜率
1．（2022·湖南·怀化市湖天中学高二阶段练****已知、，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设直线交线段于点，记点，如下图所示：
当直线从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐减小，且为钝角，
此时直线的斜率；
当直线从点运动到点（不包括点）时直线的倾斜角逐