人教版高中数学第1章 §1.1　集　合.docx

§1.1　集　合
考试要求　1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
知识梳理
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
非负整数集(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
　 表示
运算
集合语言
图形语言
记法
并集
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
交集
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
补集
{x|x∈U，且x∉A}
∁UA
常用结论
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(　×　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　×　)
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　×　)
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．(　√　)
教材改编题
1．(多选)若集合A＝{x∈N|2x＋10>3x}，则下列结论正确的是(　　)
A．2∉A B．8⊆A
C．{4}∈A D．{0}⊆A
答案　AD
2．已知集合M＝{＋1，－2}，N＝{b,2}，若M＝N，则a＋b＝________.
答案　－1
解析　∵M＝N，∴
解得∴a＋b＝－1.
3．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x2≥4}，则A∩B＝____________，A∪(∁UB)＝____________.
答案　{x|2≤x≤3}　{x|－2<x≤3}
解析　∵全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x2≥4}＝{x|x≤－2或x≥2}，
∴∁UB＝{x|－2<x<2}，
∴A∩B＝{x|2≤x≤3}，A∪(∁UB)＝{x|－2<x≤3}.
题型一　集合的含义与表示
例1　(1)(2020·全国Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
答案　C
解析　A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*，y≥x}＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素．
(2)若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.
答案　0或1
解析　①当a－3＝－3时，a＝0，
此时A＝{－3，－1，－4}，
②当2a－1＝－3时，a＝－1，
此时A＝{－4，－3，－3}舍去，
③当a2－4＝－3时，a＝±1，由②可知a＝－1舍去，则当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，
综上，a＝0或1.
教师备选
若集合A＝{x|kx2＋x＋1＝0}中有且仅有一个元素，则实数k的取值集合是________．
答案　
解析　依题意知，方程kx2＋x＋1＝0有且仅有一个实数根，∴k＝0或
∴k＝0或k＝，
∴k的取值集合为.
思维升华　解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
跟踪训练1　(1)已知集合A＝，则集合A中的元素个数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
答案　C
解析　∵∈Z，
∴x－2的取值有－4，－2，－1,1,2,4，
∴x的值分别为－2,0,1,3,4,6，
又x∈N，故x的值为0,1,3,4,6.
故集合A中有5个元素．
(2)已知a，