人教版高中数学第1章 §1.5　一元二次方程、不等式.docx

§1.5　一元二次方程、不等式
考试要求　1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
知识梳理
1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|x<x1，或x>x2}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
∅
∅
2.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　√　)
(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　×　)
(4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　×　)
教材改编题
1．若集合A＝{x|x2－9x>0}，B＝{x|x2－2x－3<0}，则A∪B等于(　　)
A．R
B．{x|x>－1}
C．{x|x<3或x>9}
D．{x|x<－1或x>3}
答案　C
解析　A＝{x|x>9或x<0}，B＝{x|－1<x<3}，
∴A∪B＝{x|x<3或x>9}．
2．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则a＋b＝________.
答案　－14
解析　依题意知
解得
∴a＋b＝－14.
3．一元二次不等式ax2＋ax－1<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案　(－4,0)
解析　依题意知即
∴－4<a<0.
题型一　一元二次不等式的解法
命题点1　不含参的不等式
例1　(1)不等式－2x2＋x＋3<0的解集为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，
即(x＋1)(2x－3)>0，
∴x<－1或x>.
(2)(多选)已知集合M＝，集合N＝，则(　　)
A．M＝
B．N＝
C．M∪N＝
D．M∩N＝
答案　ACD
解析　由题设可得M＝[－1,3]，N＝(－1,4]，
故A正确，B错误；
M∪N＝{x|－1≤x≤4}，故C正确；
而M∩N＝{x|－1<x≤3}，故D正确．
命题点2　含参的不等式
例2　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
解　原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以(x－1)<0.
所以当a>1时，解得<x<1；
当a＝1时，解集为∅；
当0<a<1时，解得1<x<.
综上，当0<a<1时，不等式的解集为；
当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a>1时，不等式的解集为.
延伸探究　在本例中，把a>0改成a∈R，解不等式．
解　当a>0时，同例2，当a＝0时，
原不等式等价于－x＋1<0，即x>1，
当a<0时，<1，
原不等式可化为(x－1)>0，
解得x>1或x<.
综上，当0<a<1时，不等式的解集为，
当a＝1时，不等式的解集为∅，
当a>1时，不等式的解集为，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}，
当a<0时，不等式的解集为.
教师备选
解关于x的不等式x2－ax＋1≤0.
解　由题意知，Δ＝a2－4，
①当a2－4>0，即a>2或a<－2时，方程x2－ax＋1＝0的两根为x＝，
∴原不等式的解为≤x≤.
②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2.
当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0，
即(x－1)2≤0，∴x＝1；
当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0，
即(x＋1)2≤0，∴x＝－1.
③当Δ＝a2－4<0，即－2<a<2时，
原不等式的解集为∅.
综上，当a>2或a<－2时，原不等式的解集为；
当a＝2时，原不等式的解集为{1}；
当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；
当－2<a<2时，原不等式的解集为∅