人教版高中数学第2讲 立体几何解答题 (解析版）.docx

第2讲　立体几何解答题
第一部分：重难点题型突破
突破一：异面直线夹角的向量求法
突破二：已知线线角求其它量
突破三：线面角的向量求法
突破四：已知线面角求其它量
突破五：面面角向量求法
突破六：已知面面角求其它量
突破七：点到平面距离
突破八：空间角的最值问题
第二部分：冲刺重难点特训
第一部分：重难点题型突破
突破一：异面直线夹角的向量求法
1．（2022·广东惠州·高二阶段练****如图所示，三棱柱中，，，，，，，N是AB中点．
(1)若点M是棱所在直线上的点，设，，当时，求实数的值；
(2)求异面直线CB与所成角的余弦值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：由，，
知，
由，得，
所以，
即，
因为，，，
所以，
解得．
（2）解：．
因为，，，
所以，，，
故，
，，
故，
所以异面直线CB与所成角的余弦值为．
2．（2022·上海·格致中学高二阶段练****如图，正方体的棱长为2,分别是的中点.
(1)求证：点四点共面；
(2)求异面直线与所成的角.
【答案】(1)证明见详解；
(2)；
【详解】（1）
证明：以D为原点，分别以的方向为轴的正方向，如图建立空间直角坐标系.则，，，，，，，，，，
所以，，所以，点四点共面.
（2）由（1）可得，，又，
则，，.
所以，异面直线与所成的角为.
3．（2022·上海·高二专题练****如图，已知是底面为正方形的长方体，，，为的中点，
(1)求证：直线平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）连接交于点，连接，
四边形为长方形，为中点，又为中点，，
，又，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面.
（2）方法一：取中点，连接，
分别为中点，，
即为异面直线与所成角，
平面，平面，又平面，；
，，，，，
，，，
，即异面直线与所成角的余弦值为.
方法二：，，，，；
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，
即异面直线与所成角的余弦值为.
4．（2022·福建泉州·高二期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，为与的交点.若，，.
(1)用，，表示；
(2)求对角线的长；
(3)求异面直线与夹角的余弦值.
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）连接，，，如图所示，
∵，，.
在，根据向量减法法则可得：，
∵底面是平行四边形，∴，
∵且，∴，
又∵为线段中点，∴，
在中.
（2）∵顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是.
∴，，
由（1）可知，
∴平行四边形中，故：，
，
∴，故对角线的长为.
（3）∵，，
，
∴
.
所以异面直线与夹角的余弦值为.
5．（2022·辽宁·大连市第三十六中学高二期中）如图，在四棱锥中，底面，底面四边形为菱形且，，为的中点，为的中点.
(1)证明：直线平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：作于点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图空间直角坐标系．
则，，，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，，
即，取，解得；
所以，平面，
平面；
（2）解：设与所成的角为，
，，
，
与所成角的余弦值为；
（3）解：设点到平面的距离为，
则为向量在向量上的投影的绝对值，
由，得，
所以点到平面的距离为．
突破二：已知线线角求其它量
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四中学校高二阶段练****已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，且，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱上的点．
(1)证明：；
(2)在棱A1B1上是否存在一点M，使得异面直线MF与AC所成的角为30°？ 若存在，指出M的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；M是A1B1中点
【详解】（1）证明：由直三棱柱ABC-A1B1C1可得平面，且，故以为原点，
，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，设，且，
则，，，由，
（2）可设，且，则，，，
由异面直线MF与AC所成的角为30°可得，
整理得，即或（舍），
所以存在点M，M是A1B1中点.
2．（2022·广东·广州市协和中学高二阶