人教版高中数学第2章 §2.5　二次函数与幂函数.docx

§2.5　二次函数与幂函数
考试要求　1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．
知识梳理
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)
y＝ax2＋bx＋c
(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点
坐标
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上单调递减；
在上单调递增
在上单调递增；
在上单调递减
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝是幂函数．(　×　)
(2)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(　×　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.(　√　)
(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．(　×　)
教材改编题
1．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则f 等于(　　)
A．－ B.
C．± D.
答案　B
解析　设f(x)＝xα，
∴2α＝，α＝，
∴f(x)＝，
∴f ＝.
2．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上单调，则实数k的取值范围为________．
答案　(－∞，40]∪[160，＋∞)
解析　依题意知，≥20或≤5，
解得k≥160或k≤40.
3．已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为________．
答案　f(x)＝x2－4x
解析　因为y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，
所以可设f(x)＝a(x－2)2－4(a>0)，
又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，
所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x.
题型一　幂函数的图象与性质
例1　(1)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　)
A．－1<m<0<n<1
B．－1<n<0<m<
C．－1<m<0<n<
D．－1<n<0<m<1
答案　D
解析　幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，
∴0<m<1.
当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n<0.
综上可知，－1<n<0<m<1.
(2)(2022·长沙质检)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________.
答案　2
解析　由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，
解得m＝1或m＝2，
当m＝1时，f(x)＝x的图象不关于y轴对称，舍去，
当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，
因此m＝2.
教师备选
1．若幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，则a等于(　　)
A．1 B．6 C．2 D．－1
答案　D
解析　因为函数f(x)＝是幂函数，
所以a2－5a－5＝1，解得a＝－1或a＝6.
当a＝－1时，
f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增；
当a＝6时，
f(x)＝x－3在(0，＋∞)上单调递减，
所以a＝－1.
2．若f(x)＝，则不等式f(x)>f(8x－16)的解集是(　　)
A. B．(0,2]
C. D．[2，＋∞)
答案　A
解析　因为函数f(x)＝在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f(x)>f(8x－16)，
所以即2≤x<，
所以不等式的解集为.
思维升华　(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0