人教版高中数学第03讲 等比数列及其前n项和 (精讲）（教师版）.docx

第03讲 等比数列及其前项和
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：等比数列基本量的运算
题型二：等比数列的判断与证明
题型三：等比数列的性质及其综合应用
角度1：等比数列的性质
角度2：等比数列与等差数列的综合问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1.等比数列的概念
(1)等比数列的定义
一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母()表示．数学语言表达：，为常数，.
(2)等比中项
如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔.
2.等比数列的有关公式
(1)若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；可推广为.
(2)等比数列的前项和公式：当时，；当时，.
3.等比数列的性质
设数列是等比数列，是其前项和．
(1)若，则，其中.特别地，若，则，其中.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()．
(3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知、、成等比数列，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为、、成等比数列，
所以，解得；
故选：C
2．（2022·辽宁·辽师大附中高二阶段练****已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（       ）
A．420只 B．520只 C． 只 D． 只
【答案】B
第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有只蜜蜂，……
按照这个规律每天的蜜蜂数构成以为5首项，公比为5的等比数列
则第天的蜜蜂数
第20天蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂数
故选：B．
3．（2022·北京·昌平一中高二期中）与的等比中项是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
设为与的等比中项，则，解得：.
故选：C.
4．（2022·湖北·蕲春县实验高级中学高二期中）已知2是2m与n的等差中项，1是m与2n的等比中项，则（       ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
由题可知，，所以．
故选：D．
5．（2022·全国·高二单元测试）在下列的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么的值为（       ）
2
4
1
2
x
y
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
由题意知表格为
2
4
6
1
2
3
1
故．
故选：A
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：等比数列基本量的运算
例题1．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二阶段练****若等比数列满足，
，则数列的公比为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【答案】D
设等比数列{an}的公比为q，由a4+a5＝（a1+a3）q3，得3q3＝81，解得q＝3，
故选：D．
例题2．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））在正项等比数列中，，且，则（  ）
A．1024 B．960 C．768 D．512
【答案】A
解：依题意设公比为，且、，由，则，即，所以，
因为，所以，所以，所以，所以；
故选：A
例题3．（2022·辽宁·鞍山市华育高级中学高二期中）在等比数列中，，，则公比（   ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】B
设等比数列的公比为，
由，解得.
故选：B.
例题4．（2022·全国·模拟预测）已知是等比数列，，，．
(1)求的通项公式；
(2)记为数列的前项和，求使得的正整数的所有取值．
【答案】(1)或；(2)答案见解析．
(1)因为为等比数列，所以，又，所以．
设的公比为，因为，
所以，化简得，解得或．
当时，．当时，．
(2)当时，．
由，得，化简得．
易知，当时，不等式显然不成立，检验可知，满足不等式的正整数n的所有取值为1，2，3，4．
当时，，由，得，此时n的取值为一切正整数．
例题5．（2022·北京二中高二学业考试）已知数列是等比数列，，
(1)求数列的通项公式及其前